等轴双曲线上有一点M导坐标原点的距离是2,则M导量焦点的距离之积等于多少
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 21:57:07
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等轴双曲线上有一点M导坐标原点的距离是2,则M导量焦点的距离之积等于多少
等轴双曲线上有一点M导坐标原点的距离是2,则M导量焦点的距离之积等于多少
等轴双曲线上有一点M导坐标原点的距离是2,则M导量焦点的距离之积等于多少
等轴双曲线意味着a=b,双曲线标准方程为:
x^/a^ -y^/a^=1
c=√(a^+a^)=√2a
双曲线两个焦点分别为:F1(-√2a,0),F2(√2a,0)
设M点坐标为:(m,n)
由题意“M到原点的距离是2”可得:
m^+n^=2^=4 ①
M在双曲线上,可将其带入方程:x^/a^-y^/a^=1
得出:
m^-n^=a^ ②
①+②:
m^=(a^+4)/2 ③
于是,题目所求:
|PF1|*|PF2|=√[(m+√2a)^+(n-0)^]*√[(m-√2a)^+(n-0)^]
=√(m^+2√2am+2a^+n^)*√(m^-2√2am+2a^+n^)
=√{[(m^+n^+2a^)+2√2am]*[(m^+n^+2a^)-2√2am]}
=√[(m^+n^+2a^)^-(2√2am)^]
=√[(m^+n^+2a^)^-8a^m^]
将①,③同时代入,可得:
|PF1|*|PF2|=√[(2a^+4)^-8a^*(a^+4)/2]
=√(4a^4 +16a^+16 - 4a^4 -16a^)
=√16
=4