作业帮高数 证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:26:57
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高数 证明题
高数 证明题
高数 证明题
本题可考虑使用反证法.我们假设在(0,1)内 均有f(x)的一阶导数≤1 .若f(x)的一阶导数=1 那么
就有f(x)=x恒成立,与题设矛盾
若f(x)的一阶导数＜1 那么在区间(0,1)上对这个不等式积分 可得,f(1)-f(0)＜1 但f(1)-f(0)=1
所以矛盾.
所以可得在(0,1)内 f(x)的一阶导数不能恒≤1,故存在某个数ξ 使得f(ξ)的导数＞1
注：f(x)不恒等于x 就想说明f(x)的一阶导数不恒为1
在补充一下，因为不恒等于x，所以存在F（x）存在最大或者最小值，用一次拉格朗日中值定理即可得到最后答案
这里要构造一个函数，F（x)=f(x)-x,得F(0)=F(1)=0,再运用罗儿定理就可以了。
Ps：如果f（x)恒等于x，则f'(x)恒等于1了。所以不恒等于1这个条件是必不可少的。