设4阶矩阵A满足det(3I+A)=0,AA T =2I,det(A)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 00:30:20
设4阶矩阵A满足det(3I+A)=0,AA T =2I,det(A)
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设4阶矩阵A满足det(3I+A)=0,AA T =2I,det(A)
设4阶矩阵A满足det(3I+A)=0,AA T =2I,det(A)

设4阶矩阵A满足det(3I+A)=0,AA T =2I,det(A)
因为 det(3I+A)=0,所以 -3 是A的一个特征值.
又由 AA^T = 2I
所以 |A|^2 = |AA^T| = |2I| = 2^4
再由 det(A)

楼上的做法只属于中规中矩，其实这个问题4个特征值都可以求出来。
令B=A/sqrt(2)，那么B是(复)正交阵，如果t是B的特征值那么1/t也是B的特征值，即B的特征值如果不是1或-1则必定成对出现。
这里B=-1/sqrt(18)是一个特征值，所以-sqrt(18)也是一个特征值。
另外两个特征值如果也成对出现的话其乘积必定是1，此时det(B)=1，与det(A)<0矛...

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楼上的做法只属于中规中矩，其实这个问题4个特征值都可以求出来。
令B=A/sqrt(2)，那么B是(复)正交阵，如果t是B的特征值那么1/t也是B的特征值，即B的特征值如果不是1或-1则必定成对出现。
这里B=-1/sqrt(18)是一个特征值，所以-sqrt(18)也是一个特征值。
另外两个特征值如果也成对出现的话其乘积必定是1，此时det(B)=1，与det(A)<0矛盾，所以B的另外两个特征值是1和-1。这样的复正交阵B确实是存在的。
至于由B的特征值转化到A*的特征值我就不罗嗦了。

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