若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆,并求其逆矩阵的表达式.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 18:21:29
若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆,并求其逆矩阵的表达式.
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若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆,并求其逆矩阵的表达式.
若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆,并求其逆矩阵的表达式.

若n阶矩阵A满足A^2+2A+2E=O,证明：A+xE（其中x为任意实数）可逆,并求其逆矩阵的表达式.
A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E
-(A+xE)[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)=E
-[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)是A+xE的逆矩阵

证明：
A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E
-(A+xE)[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)=E
-[A+(2-x)E]/(2-2x+x^2)是A+xE的逆矩阵

见图

解 由A^2+2A+2E=O可知A的最小多项式是2次的,故它的逆阵具有aA+mE, 参看网页http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/994d0fc7183c9b159c163de1.html
故
(A+xE)(aA+mE)=E
aA^2+(ax+m)A+(xm-1)E=O
A^2+((ax+m)/a)A+((xm-1)/a)E=O<...

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解 由A^2+2A+2E=O可知A的最小多项式是2次的,故它的逆阵具有aA+mE, 参看网页http://hi.baidu.com/lca001/blog/item/994d0fc7183c9b159c163de1.html
故
(A+xE)(aA+mE)=E
aA^2+(ax+m)A+(xm-1)E=O
A^2+((ax+m)/a)A+((xm-1)/a)E=O
与A^2+2A+2E=O两边比较得
(ax+m)/a =2, (xm-1)/a =2,
即ax+m=2a, xm-1=2a,
解关于a,m的方程得
a=1/(2x-x^2-2)，m=(2-x)a=(2-x)/(2x-x^2-2)
故A+xE的逆矩阵为aA+mE= A/(2x-x^2-2)+ (2-x)E/(2x-x^2-2)

收起

A^2+2A+2E=O
A(A+xE)+(2-x)A+(2-x)xE-(2-x)xE+2E=0
(A+xE)[A+(2-x)E]=-(2-2x+x^2)E
由于2-2x+x^2=1+(x-1)^2≥1,则2-2x+x^2不等于零.
则行列式 | (A+xE)[A+(2-x)E] |=-(2-2x+x^2)≠0;
这说明(A+xE)和A+(2-x)E均可逆;
则 A+xE的逆 = -[(2-2x+x^2)]·[A+(2-x)E]

A=1
xE=16

设A是n阶矩阵,满足A^2-2A+E=O,则（A+2E)^(-1)=? 设A是n阶矩阵,满足A^2-A-2E=o,证明r(A-2E)r(A+E)=n n阶矩阵A满足A^2+2A+3E 证明A+E可逆 并求逆A^2+2A+3E=O 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵 设A为n阶实对称矩阵,且满足A^3-2A^2+4A-3E=O,证明A为正定矩阵 若n阶矩阵A满足A^2-A+E=0,证明A为非奇异矩阵 已知矩阵A为n阶矩阵,且满足A^2=E 则矩阵A的秩为n 设n阶方阵A满足A2-5A+5E=O,证明矩阵A-2E可逆,并求其逆矩阵. 设n阶方阵A满足A2-5A+5E=O,证明矩阵A-2E可逆,并求其逆矩阵 已知n阶矩阵A满足矩阵方程A^2-2A-3E=0,且A-E可逆,求A-E的逆矩阵? 若n阶矩阵A满足A^2=A,试证A=E或|A|=0 n阶A方阵满足A^2-2A=0,则矩阵 A-E的逆矩阵是?rt 设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E 设n阶矩阵A满足A^2=E,且|A+E|≠0,证明A=E线性代数 已知N阶可逆矩阵A满足2A（A-E）=A^3,求（E-A)^(-1) 已知N阶可逆矩阵A满足2A（A-E）=A^3,求（E-A)^(-1) 线性代数:若n阶矩阵A满足方程A^2 2A 3E=0,则(A)^-1=?