证明:A,B均为n阶非零矩阵,若AB=0,则A,B均不可逆

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/05 23:38:16
证明:A,B均为n阶非零矩阵,若AB=0,则A,B均不可逆
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证明:A,B均为n阶非零矩阵,若AB=0,则A,B均不可逆
证明:A,B均为n阶非零矩阵,若AB=0,则A,B均不可逆

证明:A,B均为n阶非零矩阵,若AB=0,则A,B均不可逆
假设AB至少有一个可逆,不妨设A可逆
则A^(-1)AB=A^(-1)0=0
即B=0
而B是非零矩阵,矛盾.

这个很容易的
分情况讨论
(1)若AB均可逆,显然不行
(2)若AB只有一个可逆,不妨假设只有A可逆,下面只需要证明B不可逆就行了
若B不可逆,则B中必有不为零的列向量。假设其中一个不为零的列向量为x0,则有AX0=0又因为R(A)=N,所以X0=0 这与假设矛盾
假设不成立
证毕
这个不好书写 只能这样说了 希望你能看懂...

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这个很容易的
分情况讨论
(1)若AB均可逆,显然不行
(2)若AB只有一个可逆,不妨假设只有A可逆,下面只需要证明B不可逆就行了
若B不可逆,则B中必有不为零的列向量。假设其中一个不为零的列向量为x0,则有AX0=0又因为R(A)=N,所以X0=0 这与假设矛盾
假设不成立
证毕
这个不好书写 只能这样说了 希望你能看懂

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