作业帮欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 02:50:46
欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
欧拉公式：e^(iθ)=cosθ+i(sinθ)的证明过程
实际上在定义 e^(x+iy) 的值具体是多少之前,讨论它是没意义的
而 e^(x+iy)＝e^xcosy＋ie^xsiny 正可以作为单变量的复变函数 f(z)=e^z 在 z=x+iy 处的定义
所以从这点来看欧拉公式是不需要证明的,你看到的证明是怎么回事呢?
是因为有些时候我们用另一种定义去定义 f(z)=e^z 的值,
那就是用幂级数 f(z)=e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...来定义,
而那个证明就是证明了这两种定义之间的等价性
现在我们有了复指数函数的定义（而且是出自两种不同的方式,却相互和谐的定义）
但是对三角函数,我们还只能处理实变量的情况,现在我们要继续推广出复变量的三角函数.
因为我们希望复变量三角函数仍然满足欧拉公式 e^z=cosz+isinz
同时注意到 e^(-z)=cos(-z)+isin(-z)=cosz-isinz
所以我们就"顺水推舟地"定义 Cosz=(e^z+e^(-z))/2
类似的,定义 Sinz=(e^z-e^(-z))/2i,Tanz=Sinz/Cosz
这样定义出来的复变量的三角函数当然也符合欧拉公式了,不过此时的正余弦函数失去了“有界性”,即对任意的复数w,不能总保证 Sinw 或者 Cosw 的模不大于1
这样欧拉公式 e^z=Cosz+iSinz 就对任意的复数z都成立了.
这个是用泰勒级数展开就可以证明了。两边分别泰勒展开是可以。其实我更想弄明白的是虚数做指数是代表什么意义。原来高中时候把指数从整数扩展到实数的领域的时候有了小小的引导过程。我现在最想弄明白虚数做指数是代表什么意义。谢谢不清楚，不过在后面解身分微分方程的时候很有用。...
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这个是用泰勒级数展开就可以证明了。
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e^(iθ)是怎么来的
原来对于实数
e^x 可以用幂级数表示
cos(x)
sin(x)
于是仿照实数，对于复数
也给他来个幂级数表示
e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...
cosx=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+... x属于（负无穷，正无穷）
sin...
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e^(iθ)是怎么来的
原来对于实数
e^x 可以用幂级数表示
cos(x)
sin(x)
于是仿照实数，对于复数
也给他来个幂级数表示
e^z=1+z+z^2/2+...+z^n/n!+...
cosx=1-(x^2)/(2!)+(x^4)/(4!)-(x^6)/(6!)+... x属于（负无穷，正无穷）
sinx=x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!)-(x^7)/(7!)+... x属于（负无穷，正无穷）
由于 i*i=-1
所以e^(iθ)=cosθ＋isinθ
这不是定义,只是由e^z定义得出的一个结论.
所以也不需要去证明.
plu_icesheep所讲有一定道理,
但是教科书，只是给出这个公式,却没有告诉我们,这个公式的由来.
所以我们刚刚接触,这个公式的时候,都有一种想要证明他的欲望!
为什么我们证明不了呢!因为e^z没有定义.而且不可以用
实数的时候，我们掌握的方法表示。
（学习这个公式的时候，我们还没学习级数，幂级数这样的概念）
所以，这个问题，很令人困惑！）
结论：1）这个公式不需要证明，虽然有办法证明。
结论：2）复数学习有点太早，很多实数范围的知识，还没有学习，
所以看到这个公式，我们有点不知所措！
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