两个正实数a,b.满足关系式2a+b+6=ab.求ab的最小值.

两个正实数a,b.满足关系式2a+b+6=ab.求ab的最小值.
两个正实数a,b.满足关系式2a+b+6=ab.求ab的最小值.

两个正实数a,b.满足关系式2a+b+6=ab.求ab的最小值.
答案是18.
已知变形为(a-1)(b-2)=8.记x=a-1>-1,y=b-2>-2.xy=8,故x,y>0.
ab=(x+1)(y+2)=xy+2x+y+2=2x+y+10>=2sqrt(2x*y)+10=18.
x=2,y=4,即a=3,b=6时成立等号.

10
因为：由题可得（2-b)a+b+6=0,所以b>2
同理a>1,带入可得ab=2a+b+6>2+2+6=10

2a＋b＋6＝ab
(a－1)b＝2a＋6
若a＝1，则0＝8不符合题意
∴a≠1，b＝(2a＋6)/(a－1)
∵b＞0
∴(2a＋6)/(a－1)＞0
∵a＞0
∴2a＋6＞0
∴a－1＞0，即a＞1
ab＝a(2a＋6)/(a－1)＝2(a²＋3a)/(a－1)＝2(a²－2a＋1＋5a－5＋4)/(...

全部展开

2a＋b＋6＝ab
(a－1)b＝2a＋6
若a＝1，则0＝8不符合题意
∴a≠1，b＝(2a＋6)/(a－1)
∵b＞0
∴(2a＋6)/(a－1)＞0
∵a＞0
∴2a＋6＞0
∴a－1＞0，即a＞1
ab＝a(2a＋6)/(a－1)＝2(a²＋3a)/(a－1)＝2(a²－2a＋1＋5a－5＋4)/(a－1)＝2[(a－1)²＋5(a－1)＋4]/(a－1)＝2(a－1)＋8/(a－1)＋5
∵a－1＞0
∴根据平均值定理，有2(a－1)＋8/(a－1)≥2[2(a－1)·8/(a－1)]^0.5＝8
当且仅当2(a－1)＝8/(a－1)，即a＝3时，等号成立
∴[ab]min＝8＋5＝13
答：ab的最小值为13。

收起

很明显a≠1
变形有b=(2a+6)/(a-1)
ab=2(a^2+3a)/(a-1)
构造成n+1/n形式
有ab=2(a-1+4/(a-1))+10
a-1+4/(a-1)≥2根号下(a-1)*4/(a-1)=4
所以ab≥18