正实数a,b,c,a+b+c=2,2/a+4/b+7/c最小值

正实数a,b,c,a+b+c=2,2/a+4/b+7/c最小值
正实数a,b,c,a+b+c=2,2/a+4/b+7/c最小值

正实数a,b,c,a+b+c=2,2/a+4/b+7/c最小值
a,b,c＞0,a+b+c=2,y=(2/a)+(4/b)+(7/c).由“柯西不等式”可得:2y=(a+b+c)[(2/a)+(4/b)+(7/c)]≥[(√2)+(√4)+(√7)]².即y≥[2+√2+√7]²/2.等号仅当a=(2√2)/(2+√2+√7),b=4/(2+√2+√7),c=(2√7)/(2+√2+√7)时取得.∴原式的最小值为(2+√2+√7)²/2.

a+b+c=2
所以
2/a=(a+b+c)/a
4/b=2(a+b+c)/b
7/c=7(a+b+c)/(2c)
上面三项相加得
原式=13/2+(b/a+2a/b)+(c/a+7a/2c)+(2c/b+7b/2c)
上面每个空号都用均值不等式就可以得到最小值了 取最小值时要满足4c^2=7b^2=14a^2