作业帮高一数学题已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z} 求证：偶数4k-2（k∈Z）不属于A
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 17:23:06
高一数学题已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z} 求证：偶数4k-2（k∈Z）不属于A
高一数学题已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z} 求证：偶数4k-2（k∈Z）不属于A
高一数学题已知集合A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z} 求证：偶数4k-2（k∈Z）不属于A
假设 4k-2 属于 A
必然存在m,n满足
4k-2=m^2-n^2=(m+n)(m-n)
若m,n为一奇一偶,则m+n与m-n均为奇数,其乘积也为奇数,肯定不可能,故m和n同奇偶
1.若同为偶数,设m=2x,n=2y
有 4k-2=4x^2-4y^2
k-0.5=x^2-y^2,但x,y,k均为整数,所以不可能
2.若同为奇数,设m=2x+1,n=2y+1
有 4k-2=(2x+1+2y+1)(2x+1-2y-1)=(2x+2y+2)(2x-2y)
有 k-0.5=(x+y+1)(x-y)
但是k,x,y均为整数,不可能
所以假设不成立,4k-2必然不属于A
m^2-n^2=(n+m)(m-n)
因为m∈Z,n∈Z
则当m,n同为奇数或偶数时，m+n与m-n均为偶数，(n+m)(m-n)是4的倍数
而当m,n一个为奇数一个为偶数时，m+n与m-n均为奇数，(n+m)(m-n)不是2的倍数
而4k-2=2(2k-1)是2的倍数，但不是4的倍数
因此，偶数4k-2(k∈Z)不属於A
m^2-n^2=(m+n)(m-n),如果m，n都是偶数，那么m+n，m-n都是偶数，也就是说m^2-n^2是四的倍数，故不可能为4k-2。
m，n都是奇数的时候也一样。
m，n一奇一偶的时候，m^2-n^2是奇数，也不可能是4k-2
证毕。
设m=4a+u n=4b+v
且u v 是不大于3的非负整数
x=m^2-n^2
=(m+n)(m-n)
=(4(a+b)+(u+v))(4(a-b)+(u-v))
=4(4(a+b)(a-b)+(a+b)(u-v)+(a-b)(u+v))+u^2-v^2
x除以4的余数是u^2-v^2
u∈{0， 1， 2， 3} v∈{0，...
全部展开
设m=4a+u n=4b+v
且u v 是不大于3的非负整数
x=m^2-n^2
=(m+n)(m-n)
=(4(a+b)+(u+v))(4(a-b)+(u-v))
=4(4(a+b)(a-b)+(a+b)(u-v)+(a-b)(u+v))+u^2-v^2
x除以4的余数是u^2-v^2
u∈{0， 1， 2， 3} v∈{0， 1， 2， 3}
u^2-v^2可能的值有0 -1 -4 -9 1 -3 -8 4 3 -5 9 8 5
换算成对4的同余 0 -1 0 -1 1 1 0 0 -1 -1 1 0 1 偶数4k-2（k∈Z）不属于A
或者，当m n一奇一偶时，x是奇数，不继续讨论
当m n都是偶数是，易证x是4的倍数，不继续讨论 m=2a n=2b m^2-n^2=4(a+b)(a-b)
当m n都是奇数时，m=2a+1 n=2b+1
m^2-n^2=2(a+b+1)*2(a-b)=4(a+b+1)(a-b)是4的倍数
所以偶数4k-2（k∈Z）不属于A
收起
打错了吧
是不是m平方-n平方