已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:09:57
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式
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已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式
已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式

已知函数f(x)=x/(x+1),若数列{an}(n∈N*)满足:a1=1,an+1=f(an),求{an}的通项公式
因,a(n+1)=f(an)=an/(an+1)
则a(n+1)*an+a(n+1)=an
则an-a(n+1)=a(n+1)*an
两边同时除以a(n+1)*an
得1/a(n+1)-1/an=1
则{1/an}是首项为1/1=1,公差为1的等差数列

1/an=1+(n-1)*1=n
则an=1/n
则{an}的通项公式是an=1/n

1/n

∵an+1=f(an)=an/[(an)+1],去分母得:
∴an·a(n+1)+a(n+1)=an.同除an·a(n+1)得:
1+(1/an)=1/[a(n+1)].
∴{1/an}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴1/an=n,
∴an=1/n。