作业帮已知函数f(x)=x^2+alnx,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 05:34:04
![已知函数f(x)=x^2+alnx,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值](/uploads/image/z/2692748-20-8.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2Balnx%2C%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B1%2Ce%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E5%8F%8A%E7%9B%B8%E5%BA%94%E7%9A%84x%E5%80%BC)
已知函数f(x)=x^2+alnx,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值
已知函数f(x)=x^2+alnx,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值
已知函数f(x)=x^2+alnx,求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值
(2x^2+a)/x>0
即f(x)是单调增函数
f(x)在[1,e]上的最小值=f(1)=1,此时x=1
a0
∴x=√(-a/2)
即此时f(x)在x=√(-a/2)有极小值
当√(-a/2)
sqrt 就是根号的意思
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~满意请采纳
f'(x)=a/x+2x
a>=0,f'(x)在区间上恒正，最小值在x=1取到，为1
a<0,f'(x)=0根为a=sqrt(-a/2)
讨论sqrt(-a/2)在相对区间[1,e]的位置
sqrt(-a/2)<1,即a>-2,f(x)增函数，...
全部展开
sqrt 就是根号的意思
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~满意请采纳
f'(x)=a/x+2x
a>=0,f'(x)在区间上恒正，最小值在x=1取到，为1
a<0,f'(x)=0根为a=sqrt(-a/2)
讨论sqrt(-a/2)在相对区间[1,e]的位置
sqrt(-a/2)<1,即a>-2,f(x)增函数，f(1)=1最小
sqrt(-a/2)>e,即a<-2e^2,f(x)减函数，f(e)=e^2-a最小
1<=sqrt(-a/2)<=e，即-2e^2<=a<=-2,
f(sqrt(-a/2))=(a/2)(ln(sqrt(-a/2))-1)最小
综上所述
a>-2,f(1)=1最小
a<-2e^2,f(e)=e^2-a最小
-2e^2<=a<=-2,
f(sqrt(-a/2))=(a/2)(ln(sqrt(-a/2))-1)最小
收起
当a≥0时，令x1，x2满足1≤x1＜x2≤e
f（x2）-f（x1）=（x2）²+alnx2-（x1）²-alnx1
=（x2-x1）（x2+x1）+aln（x2÷x1）
∵a≥0，1≤x1＜x2≤e
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0，x2÷x1＞1
∴（x2-x1）（x2+x1）+aln...
全部展开
当a≥0时，令x1，x2满足1≤x1＜x2≤e
f（x2）-f（x1）=（x2）²+alnx2-（x1）²-alnx1
=（x2-x1）（x2+x1）+aln（x2÷x1）
∵a≥0，1≤x1＜x2≤e
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0，x2÷x1＞1
∴（x2-x1）（x2+x1）+aln（x2÷x1）＞0
即f（x）为增函数
x=1时f（x）有最小值1
收起