作业帮已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*,Sk,Sk+2,Sk+1,成等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 11:38:03
已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*,Sk,Sk+2,Sk+1,成等差数列
已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*,Sk,Sk+2,Sk+1,成等差数列
已知等比数列{an}的公比q= -1/2 （1）若a3=1/4 求数列an前n项的和 （2）证明 对任意k∈N*,Sk,Sk+2,Sk+1,成等差数列
(1)解∵q= -1/2,a3=1/4
由(a1)q²=a3得：(a1)(-1/2)²=1/4
∴(a1)=1
∴数列an前n项的和
Sn=[(a1)(1-qⁿ)]/(1-q)
={1×[1-(-1/2)ⁿ]}/[1-(-1/2)]
=[2-2·(-1/2)ⁿ]/3
(2)证明：∵k∈N*
∴2[S(k+2)]-{(Sk) +[S(k+1)]}
=2[S(k+2)]-(Sk) -[S(k+1)]
=2{(a1)[1-q^(k+2)]}/(1-q)-{(a1)[1-(q^k)]}/(1-q)-{(a1)[1-q^(k+1)]}/(1-q)
=[(a1)(q^k)]/(1-q) · (2q²-1-q) ①
∵q=-1/2
∴2q²-1-q=2×(-1/2)²-1-(-1/2)=1/2-1+1/2=0
∴ ①式=0
∴2[S(k+2)]-{(Sk) +[S(k+1)]}=0
∴S(k+2)、(Sk) 、S(k+1),成等差数列
因为a3=1/4,所以a1=1
∴Sn=(a1(1-q^n))/(1-q)
∵a1=1,q= -1/2 ∴Sn=2*(1-(1/2)^n)
若 对任意k∈N*，Sk，Sk+2，Sk+1所以2*Sk+2=Sk+Sk+1
所以：代入Sn得:4-4/（2^（n+2))=2-2/(2^(n+1))+2-2/(2^n)
整理得：