一到二次函数的数学题如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?如果不会列二次函数,给个证明过程也可以,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 16:44:08
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一到二次函数的数学题如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?如果不会列二次函数,给个证明过程也可以,
一到二次函数的数学题
如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?
如果不会列二次函数,给个证明过程也可以,
一到二次函数的数学题如图,点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?如果不会列二次函数,给个证明过程也可以,
令正方形ABCD的边长为1,由于四个角的三角形全等,则面积一样,则设其中一三角形的一条边的长度为x,那么另外一条的边的长度为1-x;要让四边形EFGH的面积最小,则四个三角形的面积之和最大,由于四个三角形的面积相同,则只要求得使其中一个三角形面积最大的点.三角形的面积S=1/2(1-x)x=-1/2(x^2-x+1/4-1/4)=-1/2[(x-1/2)^2-1/4] 显然x=1/2的时候 S最大 即E为边的中点
设大正方形边长为1,ae=x
那么ah=1-x
eh^2=x^2+(1-x)^2=efgh面积
化简得2x2-2x+1=2(x-1/2)^2+1/2
所以当x=1/2时面积最小。
设大小正方形边长分别为X,Y,E截AB得到两个长度为a,b则有
a+b=X a^2+b^2=Y^2,求Y最小值即可
易知Rt△HAE≌Rt△EBF≌Rt△FCG≌GDH。
设AB=a,AE=x,则AE=BF=CG=DH=x,EB=FC=GD=HA=a-x。
于是知正方形EFGH的面积=a^2-4[x(a-x)/2]=a^2-2ax+2x^2=2(x-a/2)^2+a^2/2≥a^2/2。
于是知正方形EFGH的面积最小为a^2/2。
位于中点时,面积最小。
可以根据菱形的面积法求。S=1/2(a*b).
当a b最小时,面积最小