复变函数例题 计算积分画红框部分是怎么得来的?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 01:21:59
复变函数例题 计算积分画红框部分是怎么得来的?
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复变函数例题 计算积分画红框部分是怎么得来的?
复变函数例题 计算积分
画红框部分是怎么得来的?

复变函数例题 计算积分画红框部分是怎么得来的?
分析：红框就是把 sin(x),cos(x),dx代入即可.由于x肯定是在 [0,2π],所以当你设了
z = cos(x) + isin(x)后,就表示z一定是在单位圆上的复数啊,
|z| = sqrt (cos^2 + sin^2) = 1么.从定积分变到曲线积分了是因为 此时积分的区间不是 [0,2π]这个线段,而是 |z| = 1这个单位圆的圆周,所以就是曲线积分了.
积分号下：
sin^2(x) = (z - 1/z)^2 / (-4) = - (z^2 + 1/z^2 - 2)/4 = - (z^2 - 1)^2 / (4z^2),
5 + 3cos(x) = 5 + 3(z + 1/z)/2,所以
第一个等式 = 曲线积分 - (z^2 - 1)^2 / (4z^2) / [ 5 + 3(z + 1/z)/2 ] * 1/(iz) dz
= - 曲线积分 (z^2 - 1)^2 / [(6z^3 + 20z^2 + 6z)(iz)] dz （这是做了分子分母同乘以4z^2）
= 曲线积分 i(z^2 - 1)^2 / [(3z^2 + 10z + 3)(2z^2)] dz,
（分母提公因式2z出来,1/i = -i,负号消掉）
第二个等号就是把 i/6 提出去,于是分母 现在变成：
z^3 + 10/3 z^2 + 1,分解因式就完了.

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