椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程

椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程

椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
∵e＝c/a＝√3/2,∴4c^2＝3a^2,∴4（a^2－b^2）＝3a^2,∴a^2＝4b^2.
联立：x^2/a^2＋y^2/b^2＝1、x＋2y＋8＝0,消去x,得：（－2y－8）^2/a^2＋y^2/b^2＝1,
∴4（y＋4）^2/（4b^2）＋y^2/b^2＝1,∴（y＋4）^2＋y^2＝b^2,
∴2y^2＋8y＋16－b^2＝0.
∵P、Q都在直线x＋2y＋8＝0上,
∴可设P、Q的坐标分别是（－2m－8,m）、（－2n－8,n）.
显然,m、n是方程2y^2＋8y＋16－b^2＝0的两根,∴由韦达定理,有：
m＋n＝－4、mn＝（16－b^2）/2.
∵｜PQ｜＝√10,∴√［（－2m－8＋2n＋8）^2＋（m－n）^2］＝√10,
∴√［5（m－n）^2］＝√10,∴√［（m＋n）^2－4mn］＝√2,
∴（－4）^2－4（16－b^2）/2＝2,∴8－（16－b^2）＝1,∴b^2＝1＋16－8＝9,∴a^2＝36.
∴满足条件的椭圆方程是：x^2/36＋y^2/9＝1.