作业帮已知函数f（x）=x²+2mx+2,x∈[-5,5]⑴当m=2时,求f（x）的最大值和最小值⑵求实数m的取值范围,使y=f（x）在区间[-5,5] 上是单调函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/08 15:47:11
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已知函数f（x）=x²+2mx+2,x∈[-5,5]⑴当m=2时,求f（x）的最大值和最小值⑵求实数m的取值范围,使y=f（x）在区间[-5,5] 上是单调函数
已知函数f（x）=x²+2mx+2,x∈[-5,5]
⑴当m=2时,求f（x）的最大值和最小值
⑵求实数m的取值范围,使y=f（x）在区间[-5,5] 上是单调函数
已知函数f（x）=x²+2mx+2,x∈[-5,5]⑴当m=2时,求f（x）的最大值和最小值⑵求实数m的取值范围,使y=f（x）在区间[-5,5] 上是单调函数
这是一道区间上二次函数的最值问题.先说遇到这一类题,思路都是固定的,就是先找“三要素”：开口方向、对称轴、自变量的范围,然后画图.
这个函数的“三要素”：开口向上（因为x²系数是正的）,对称轴x=-m（不固定,随着m变化而移动）,自变量的范围[-5,5]是固定的.
然后想想图象,这是个向上开口的抛物线,有个最低点,在x>-m单调递增,x<-m单调递减.如果我们光看[-5,5]这一段,如果对称轴在它左边,也就是-m≤-5,那[-5,5]这一段上只有单调递增的份了,最大值就是x=5那一点的值,最小值就是x=-5的值；如果对称轴在里面-5<-m<5,必然最小值就是顶点x=-m这一点,最大值肯定在端点x=±5上,至于到底是+5还是-5看情况而定,如果对称轴靠近+5那最大值就在-5,反之在+5；如果-m在5右边,[-5,5]上只有单调递减的份,最大值就是x=-5,最小值x=5.
分析完了,你发现没有,三要素找了,图象画了,之后这道题实际上已经解决了.再整理一下即可.
(1)m=2,是对称轴在里面的情况,最小值就是x=-m=-2时y的值,为-2；-2更靠近-5,所以最大值是x=5时候y的值,为47.
(2)上面已经说了,-m≤-5也就是m≥5的时候,单调递增；-m≥5也就是m≤-5的时候单调递减,这二者全属于单调函数.
注意,如果上面有什么不清楚的可以追问,另外如果基本公式（比如二次函数如何求对称轴）都不知道的话应该去翻课本.
⑴当m=2时，f（x）=x²+4x+2,则
f'(x)=2x+4=0
=>x=-2
由f(-5)=7,f(-2)=-2,f(5)=47得
f（x）的最大值和最小值分别为：47，-2.
（2）f（x）=x²+2mx+2的图象开口向上，对称轴方程为：x=-m
使y=f（x）在区间[-5，5] 上是单调函数，则-m>5且f(5)=27+...
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⑴当m=2时，f（x）=x²+4x+2,则
f'(x)=2x+4=0
=>x=-2
由f(-5)=7,f(-2)=-2,f(5)=47得
f（x）的最大值和最小值分别为：47，-2.
（2）f（x）=x²+2mx+2的图象开口向上，对称轴方程为：x=-m
使y=f（x）在区间[-5，5] 上是单调函数，则-m>5且f(5)=27+10m>0
所以：
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这是一道区间上二次函数的最值问题。先说遇到这一类题，思路都是固定的，就是先找“三要素”：开口方向、对称轴、自变量的范围，然后画图。
这个函数的“三要素”：开口向上（因为x²系数是正的），对称轴x=-m（不固定，随着m变化而移动），自变量的范围[-5,5]是固定的。
然后想想图象，这是个向上开口的抛物线，有个最低点，在x>-m单调递增，x<-m单调递减。如果我们光看[-5,...
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这是一道区间上二次函数的最值问题。先说遇到这一类题，思路都是固定的，就是先找“三要素”：开口方向、对称轴、自变量的范围，然后画图。
这个函数的“三要素”：开口向上（因为x²系数是正的），对称轴x=-m（不固定，随着m变化而移动），自变量的范围[-5,5]是固定的。
然后想想图象，这是个向上开口的抛物线，有个最低点，在x>-m单调递增，x<-m单调递减。如果我们光看[-5,5]这一段，如果对称轴在它左边，也就是-m≤-5，那[-5,5]这一段上只有单调递增的份了，最大值就是x=5那一点的值，最小值就是x=-5的值；如果对称轴在里面-5<-m<5，必然最小值就是顶点x=-m这一点，最大值肯定在端点x=±5上，至于到底是+5还是-5看情况而定，如果对称轴靠近+5那最大值就在-5，反之在+5；如果-m在5右边，[-5,5]上只有单调递减的份，最大值就是x=-5，最小值x=5。
分析完了，你发现没有，三要素找了，图象画了，之后这道题实际上已经解决了。再整理一下即可。
(1)m=2，是对称轴在里面的情况，最小值就是x=-m=-2时y的值，为-2；-2更靠近-5，所以最大值是x=5时候y的值，为47。
(2)上面已经说了，-m≤-5也就是m≥5的时候，单调递增；-m≥5也就是m≤-5的时候单调递减，这二者全属于单调函数。
注意，如果上面有什么不清楚的可以追问，另外如果基本公式（比如二次函数如何求对称轴）都不知道的话应该去翻课本。
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（1）当m=2时，f(x)=(x+2)^2-2,其中(x+2)^2>=0;根据二次函数可知，函数开口向上，故最小点为对称轴处的点，最小值为X=-2
(2)f(x)=(x+m)^2+2-m^2;函数开口向上，要是函数在区间[-5,5]单调，只要区间落在对称轴的一侧就可以了,取值范围是m>=5或者m<=-5