第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·武汉)(时间:2013年4月20日10:00~11:

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·武汉)(时间:2013年4月20日10:00~11:
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·武汉)(时间:2013年4月20日10:00~11:

第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(小学高年级组·武汉)(时间:2013年4月20日10:00~11:
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题
A
参考答案

（小学高年级组）

一、填空题（
每题
10
分
,
共
80
分
）



题号

1 2 3 4 5 6 7
8
答案

25
2,
3
316
12 62 74 94
54
二、解答下列各题（
每题
10
分
,
共
40
分
,
要求写出简要过程
）


9.


解答
.
例如

3
4
)
4
4
4
(




,
4
4
)
4
4
(
4




,
5
4
)
4
4
4
(




,
6
4
4
)
4
4
(




.
10.

答案：
25
解答
.
设比小明小的学生为
x
人
,
比小华小的学生为
y
人
.
因为比小明大的学生
为
2
x
人
,
所以全班学生共
3
1
N
x


人
;
又因为比小华大的学生为
3
y
人
,
所以全
班学生共
4
1
N
y


人
.
这样
,
1
N

既是
3
的倍数
,
又是
4
的倍数
,
因此
1
N

是
3
4
12


的倍数
.
这个班学生人数大于
20
而小于
30,
所以
1
N

只可能是
24.
因
此这个班共有学生
24
1
25
N



人
.
11.

答案
：
1.375
解答
.
小虎划船的全部时间为
120
分钟
,
他每划行
30
分钟
,
休息
10
分钟
,
周期







- 2 -
为
40
分钟
,
所以一共可分为
3
个
30
分钟划行时间段
,
有
3
个
10
分钟休息

划船
时
,
顺水的船速与逆水的船速之比为
4.5:1.5=3:1.
因为小虎要把船划到离租船处
尽可能远
,
他在划船的过程中只能换一次划船的方向
,
而且是在尽可能远处
.
分
两种情况讨论
.
1)
开始向下游划船
,
设最远离租船处
x
千米
.
因为回到租船处是逆水
,
所以小虎
只有
110
分钟可用
.
由于划船时顺流速度是逆流速度的
3
倍
,
所以用在向下游划
船的时间不能超过半小时
.
另外两次休息时间只能用在返程
,
在休息期间内船向


下游漂流了
5
.
1
3
1

,
所以



5
.
1
5
.
1
5
.
1
3
1
5
.
4












x
x
.
整理上式得

75
.
6
5
.
1
3



x
x
,
25
.
5
4

x
,
3125
.
1

x

(
千米
).
2)
开始向上游划
,
设最远离租船处
y
千米
.
小虎可用
120
分钟
,
有两次休息时间
用在向上游
.
所以




5
.
1
5
.
4
5
.
1
6
1
5
.
1
5
.
1
3
1




















y
y
.
整理上式得



75
.
6
5
.
1
6
5
4



y
,
5
.
5
4

y
,
375
.
1

y

(
千米
).




综合
1)
和
2)
的讨论
,
小虎的船最多离租船处
1.375
千米
.
12.

答案：
不能

解答
.
设放的最小自然数为
a
,
则放的最大自然数为
23

a
.
于是这
24
个数的和
为

).
23
2
(
12


a
A

假设可能
,
设每个正方形边上的数之和为
S
.
因为共有
5
个正方形
,
这些和
的和为
S
5
.
因为每个数在这些和中出现两次
,
所以有








- 3 -
.
2
5
A
S


记最小的
16
个数的和为
B
,
则
)
15
2
(
8


a
B
.
下面分两种情形讨论
:
(1)

若
S
B

,
则




)
15
2
(
8
)
23
2
(
5
24
5
2





a
a
A
S
,
120
16
4
.
110
8
.
9



a
a
,
不存在自然数
a
使得不等式成立
.
(2)

情形
S
B

也是不可能的
,
因为此时不可能选择最大正方形边上的
16
个数使得这
16
个数的和等于
S
.
三、解答下列各题（
每题
15
分
,
共
30
分
,
要求写出详细过程
）


13.

答案：
5
解答
.
用右图代替题目中的
1
2

小长方形
.
因为题目所给的小长方形上下不对称
,
所以同一个小长方形在拼成的上下对称的正方形中
,
不会既在上半部分也在下
半部分
.
这样
,
就可以只考虑上半部分的不同情形
.

1)
相邻的空白格在第一行最左边或最右边
.
因为要排除旋转相同的
,
所以
只考虑相邻空白格在最右边的情况
,
有下图所示的
2
种图形


,

2)
相邻的空白格在第一行中间
.
去掉旋转重合的
,
有下图所示的
3
种图形


,





所有不同的图形为
5
种
.
14.

答案：
6036







- 4 -
解答
.
令

2013
2
1
2012
2
1
2010
2
1
c
c
c
b
b
b
a
a
a
n















,
其中
,
所有的
i
a
数字和相同
,
所有的
j
b
数字和相同
,
所有的
k
c
数字和相同
.
两个
自然数数字的和相同
,
则它们除以
9
的余数相同
,
即

2010
,
,
2
,
1
,
9




i
r
u
a
i
i
,
2012
,
,
2
,
1
,
9




j
s
v
b
j
j
,
2013
,
,
2
,
1
,
9




k
t
w
c
k
k
.
则

,
2013
)
(
9
2012
)
(
9
2010
)
(
9
2013
2
1
2012
2
1
2010
2
1
t
w
w
w
s
v
v
v
r
u
u
u
n














































(1)
由上面的等式可得
,
s
s
v
v
v
r
r
u
u
u
















5
)
223
(
9
3
)
223
(
9
2012
2
1
2010
2
1


,
(2)
s
s
v
v
v
t
t
w
w
w

















5
)
223
(
9
6
)
223
(
9
2012
2
1
2013
2
1


,
(3)
由
(2)
可以得出
s
是
3
的倍数
,
只能是
0,
3
或
6.
下面三种情况讨论
:
1)
0

s
.
此时
,
对
2012
,
,
2
,
1


j
,
因为
j
j
v
b
9

的数字和不为零
,
所以
1

j
v
.
则

18108
2012
9
)
(
9
2012
2
1








v
v
v
n

.
2)
6

s
.
此时

12072
6
2012
)
(
9
2012
2
1







v
v
v
n

.







- 5 -
3)
3

s
,
此时

6036
3
2012
)
(
9
2012
2
1







v
v
v
n

.
可以取

1
,
2


t
r
.
而

.
1
1
1
10
10
10
11
11
11
2
2
2
3
3
3
6036
2012


































个
个
个
个
个
n
m
y
x





















下面计算
x
,
y

与
m
,
n
,







,
6036
11
2
,
2010
y
x
y
x









,
6036
10
,
2013
n
m
n
m

解得

1786

x
, 224

y
,
447

m
,
1566

n
.
即

2012
3
1566
447
10
224
11
1786
2
6036









.
最终
,
满足条件的最小自然数是
6036.