作业帮y=sinα-cosα的最小值为多少,此时α的集合为多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/01 09:49:48
y=sinα-cosα的最小值为多少,此时α的集合为多少
y=sinα-cosα的最小值为多少,此时α的集合为多少
y=sinα-cosα的最小值为多少,此时α的集合为多少
因为 y =sin α -cos α
=√2 [ (√2 /2) sin α - (√2 /2) cos α ]
=√2 (sin α cos π/4 -cos α sin π/4)
=√2 sin (α -π/4),
且 -1 ≤sin (α -π/4) ≤1,
所以 当 sin (α -π/4) = -1 时,
y 有最小值 -√2.
此时 α -π/4 =2kπ +3π/2, k∈Z.
即 α =2kπ +7π/4, k∈Z.
所以 α 的集合为 {α| α =2kπ +7π/4, k∈Z }.
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对于 a sin x +b cos x 这种类型的, 先提出 √(a^2 +b^2), 再用和角公式或差角公式.
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如果不要求 α, 只需求 y, 还有另一解法.
因为 y =sin α -cos α,
所以 y^2 =(sin α)^2 +(cos α)^2 -2 sin α cos α
=1 -sin 2α.
又因为 -1 ≤sin 2α ≤1,
所以 0 ≤y^2 ≤2.
所以 -√2 ≤y ≤√2 .
即 y 的最小值为 -√2.
y=sinα-cosα=（根号2）sin(α-45度），所以y=sinα-cosα的最小值为-根号2，此时α的集合为：
{α|α=k×360度+315度}