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来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 23:23:25
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小明在求一组数据的方差时，觉得运用书上公式求方差比较麻烦，善于动脑的小明发现了求方差的简化公式S^2=1/n[(x1^2+x2^2+…+xn^2)-nx拔^2]，并就n=3时，证出化间公式为S^2=1/n[(x'1^2+x'1^2+…+nx'n^2)-nx'^2],其中x'1=x1-a,x'2=x2-a,x'n=xn-a,他的想法正确吗？如正确，请证明。

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S^2=1/n*[(x1-x')^2+(x2-x')^2+(x3-x')^2]
=1/n*[[(x1-a)-(x'-a)]^2+[(x3-a)-(x'-a)]^2+[(x3-a)-(x'-a)]^2]
=1/n*[[(x1-a)^2-2(x1-a)(x'-a)+(x'-a)^2]+[(x2-a)^2-2(x2-a)(x'-a)+(x'-a)^2+[(x3-a)^2-2(x3-a)(x'-a)+(x'-a)^2]]
=1/n*[((x1-a)^2+(x2-a)^2+(x3-a)^2)-2(x'-a)((x1-a)+(x2-a)+(x3-a))+3(x'-a)^2]
=1/n*[((x1-a)^2+(x2-a)^2+(x3-a)^2)-2(x'-a)*3(x'-a)+3(x'-a)^2]
=1/n*[((x1-a)^2+(x2-a)^2+(x3-a)^2)-3(x'-a)^2]
令 x'1=x1-a x'2=x2-a x'3=x3-a
则上面的结果就是 S^2=1/n*[x'1^2+x'2^2+x'3^2]
其实就是相当于 用上面的公式计算 x'1=x1-a x'2=x2-a x'3=x3-a 的方差
代入上面的推导步骤 结果就出来了
同时也深刻说明了 数列值同时加上一个常数 平均值同时改变 而方差不变

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