已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16,直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数,直线L必经过一个定点,求出这个定点的坐标.（2）当m取任意实数时,直线L和圆的位置关系有无不变性,试

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16,直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数,直线L必经过一个定点,求出这个定点的坐标.（2）当m取任意实数时,直线L和圆的位置关系有无不变性,试
已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16,直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数,直线L必经过一个定点,求出这个定点的坐标.（2）当m取任意实数时,直线L和圆的位置关系有无不变性,试说明理由.（3）请判断直线L被圆C截得的弦何时最短,并求截得的弦最短时m的值以及弦的长度a

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16,直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数,直线L必经过一个定点,求出这个定点的坐标.（2）当m取任意实数时,直线L和圆的位置关系有无不变性,试
1）直线方程化为 (2x+y+2)m+(3x+4y-2)=0,
令 2x+y+2=0,3x+4y-2=0,解得 x=-2,y=2,
因此,直线恒过定点 P（-2,2）.
2）将P坐标代入圆的方程,可知(-2-1)^2+(2-3)^2=10<16,所以P在圆内,
因此,直线与圆恒有两个不同的交点（相交）.
3）当L丄CP时,L被圆C截得的弦最短.
因kCP=(3-2)/(1+2)=1/3,所以 kL=-3,
所以,L的方程为 y=-3(x+2)+2,即 3x+y-4=0.
由 (2m+3)/3=(m+4)=(2m-2)/(-4) 得 m=-9.
根据勾股定理得 a=2*√(r^2-CP^2)=2*√(16-10)=2√6.