很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)(1)求a与b的数量积用k表示的解析
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/03 10:06:18
![很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)(1)求a与b的数量积用k表示的解析](/uploads/image/z/2771646-6-6.jpg?t=%E5%BE%88%E6%9C%89%E4%BB%B7%E5%80%BC%E7%9A%84%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%AD%A6%E9%A2%98%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%28cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%28cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2C%E4%B8%94a%2Cb%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%BC%8F%7Cka%2Bb%7C%3D%E2%88%9A3%7Ca-kb%7C%2C%28k%3E0%29%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%28cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%28cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2C%E4%B8%94a%2Cb%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%85%B3%E7%B3%BB%E5%BC%8F%7Cka%2Bb%7C%3D%E2%88%9A3%7Ca-kb%7C%2C%28k%3E0%29%281%29%E6%B1%82a%E4%B8%8Eb%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF%E7%94%A8k%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90)
很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)(1)求a与b的数量积用k表示的解析
很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k);
(2)a能否与b垂直或平行?若能求出k的值,否则说明理由;
(3)求a与b夹角的最大值.
很有价值的一道数学题已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系式|ka+b|=√3|a-kb|,(k>0)(1)求a与b的数量积用k表示的解析
这题我作过.是不是“测试15 期末测试”的17题.
⑴ab=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α+β)
关系式两边平方,3*(a-kb) ^2=(ka+b)^2
用向量的乘法把两个式子一联立,得a*b=(k^2+1)/4k
⑵∵k^2+1>0,4k>0
∴a*b≠0 ∴不能垂直
∵sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)≠0∴不能平行
⑶设夹角为θ,
│a││b│=1
cosθ=a*b/│a││b│=(k^2+1)/4k>0.5
∴θ≤60°
|ka+b|=√3|a-kb|
=>
K^2a^2+b^2+2kab=3(a^2+K^2b^2-2kab)
=>
4kab=1+K^2
f(k)=(1/k+k)/4
a与b垂直=>f(k)=0
=>无解
平行=>f(k)=1
f(k)=-1
=>k^2+1=4k
k^2+1=-4k
=>
求a与...
全部展开
|ka+b|=√3|a-kb|
=>
K^2a^2+b^2+2kab=3(a^2+K^2b^2-2kab)
=>
4kab=1+K^2
f(k)=(1/k+k)/4
a与b垂直=>f(k)=0
=>无解
平行=>f(k)=1
f(k)=-1
=>k^2+1=4k
k^2+1=-4k
=>
求a与b夹角的最大值
f(k)=abcos夹角
k>0=>f(k)>=0.5
abcos夹角>=0.5
cos夹角>=0.5
夹角=<60
收起
(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ka=(kcosα,ksinα),kb=(kcosβ,ksinβ)
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2kab=3(|a|²+|kb|²-2kab)
...
全部展开
(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ka=(kcosα,ksinα),kb=(kcosβ,ksinβ)
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2kab=3(|a|²+|kb|²-2kab)
∴ k²+1+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)=3[1+k²-2k(cosαcosβ+sinαsinβ)]
整理,得
2k²-8kcos(α-β)+2=0
因此,关于k的解析式f(k)= 2k²-8kcos(α-β)+2
(2) 当a⊥b时,a*b=0
即 cos(α-β)=0
则 2k²+2=0 关于k的一元二次方程无解
而 k>0
所以 a与b无可能垂直
当 a∥b时,存在一个实数x(x≠0),使得
a=xb
所以 cosα=xcosβ,sinα=xsinβ
则 cosα/xcosβ=sinα/sinβ
∴ sin(α-β)=0
∴cos(α-β)=±1
当cos(α-β)=1时,有2k²-8k+2=0,得
k=2±2√3(负值舍去)
当cos(α-β)=-1时,有2k²+8k+2=0,得
k=-2±2√3(负值舍去)
所以 a与吧可平行,此时k为(-2+2√3)或(2+2√3)
(3)∵cos=a*b/|a|*|b|
=cos(α-β)
使 取得最大值为π
此时cos(α-β)=cos=-1
由(2)知,cos(α-β)=-1,关于k的一元二次方程有解,且解为-2+2√3
因此,a与b夹角的最大值为=π
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