由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0最好用格林公式求解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/25 16:38:36
由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0最好用格林公式求解
由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost),0
最好用格林公式求解
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显然t的取值范围就是0到2π
那么
原积分
=∫ xdx /π +(y-x)dy
=∫(0到2π) { a*(t-sint)/π * a(t-sint)' +[a*(1-cost) -a*(t-sint)] *a(1-cost)' } dt
=∫(0到2π) [a*(t-sint)/π * a(1-cost) +(a-a*cost -at +a*sint) *asint] dt
=a²/π *∫ (t-sint) d(t-sint) +a²∫ (1-cost-t +sint)*sint dt
显然∫ (t-sint) d(t-sint) =0.5(t-sint)²
而∫ (1-cost-t +sint)*sint dt=∫ sint -sintcost-t*sint +sin²t dt
显然
∫sintcost=0.5∫sin2tdt= -0.25cos2t
∫t*sint dt= ∫ -t dcost= -t*cost +∫ cost dt= -t*cost +sint
∫sin²t dt=∫ 0.5-0.5cos2t dt=0.5t -0.25sin2t
所以得到
原积分
=a²/π *0.5(t-sint)² +a² *(-cost+0.25cos2t+t*cost -sint+0.5t -0.25sin2t) 代入上下限2π和0
=a²/π *0.5 *4π² +a² *(2π+π)
=5πa²