如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC(1)求证:AG∥平面PEC(2)求AE的长(3)求二面角E-PC-A的正弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/17 11:59:40
![如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC(1)求证:AG∥平面PEC(2)求AE的长(3)求二面角E-PC-A的正弦值](/uploads/image/z/2788212-12-2.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2CPA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2C%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%E6%98%AF%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2%2CAB%3D4.PA%3D3%2CA%E7%82%B9%E5%9C%A8PD%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%B0%84%E5%BD%B1%E4%B8%BAG%E7%82%B9%2CE%E7%82%B9%E5%9C%A8AB%E4%B8%8A%2C%E5%B9%B3%E9%9D%A2PEC%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDC%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAG%E2%88%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2PEC%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82AE%E7%9A%84%E9%95%BF%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92E-PC-A%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC(1)求证:AG∥平面PEC(2)求AE的长(3)求二面角E-PC-A的正弦值
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC
(1)求证:AG∥平面PEC
(2)求AE的长
(3)求二面角E-PC-A的正弦值
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,AB=4.PA=3,A点在PD上的射影为G点,E点在AB上,平面PEC⊥平面PDC(1)求证:AG∥平面PEC(2)求AE的长(3)求二面角E-PC-A的正弦值
1 过E做EF垂直PC于F 因为平面PEC⊥平面PDC
所以EF垂直于平面PCD 故平行于AG 进而AG∥平面PEC
2 AGFE为矩形 解三角形PAD 得PG=1.8 在三角PDC 中由相似三角形得GE=AE=1.44
3 P-AEC的体积为 1/3X三角形PAC面积XEH=1/3X三角形AEC面积XPA 其中EH为E到哦ing面PAC的高 于是可得H=25分之18倍根号二 解三角形EHF 得 正弦值为 10分之3倍根号二
用坐标法更好
设AB=4a﹙a是单位向量﹚,AD=4b. AP=3c AE=ta
容易计算,平面PEC的法向量n1=-12a+﹙12-3t﹚b-4tc
平面PDC的法向量n2=3b+4c.
∵平面PEC⊥平面PDC
∴n1⊥n2.
n1•n2=0,得到t=36/25
AG⊥PD,AG⊥CD﹙∵CD⊥平面PAD﹚∴AG⊥平面PDC.AG=sn2 ...
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设AB=4a﹙a是单位向量﹚,AD=4b. AP=3c AE=ta
容易计算,平面PEC的法向量n1=-12a+﹙12-3t﹚b-4tc
平面PDC的法向量n2=3b+4c.
∵平面PEC⊥平面PDC
∴n1⊥n2.
n1•n2=0,得到t=36/25
AG⊥PD,AG⊥CD﹙∵CD⊥平面PAD﹚∴AG⊥平面PDC.AG=sn2 AG⊥n1 AG∥平面PEC
﹙⑴成立﹚
⑵AE的长=t=36/25=1.44
⑶ 平面PAC的法向量n3=a-b
cos﹙二面角E-PC-A﹚=|cos﹤n1,n3﹥|=|n1•n3/﹙|n1||n3|﹚|=……
后面的计算留给楼主啦!
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