已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3求证：x^4+y^4+z^4=25/6

已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3求证：x^4+y^4+z^4=25/6
已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3
求证：x^4+y^4+z^4=25/6

已知：x+y+z=1,x²+y²+z²=2,x³+y³+z³=3求证：x^4+y^4+z^4=25/6
因为x+y+z=1
所以 (x+y+z)²=1
x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=1
因为x²+y²+z²=2
所以 xy+xz+yz=-1/2
所以 (xy+xz+yz)²=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2x²yz+2xy²z+2xyz²=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2xyz(x+y+z)=1/4
x²y²+x²z²+y²z²+2xyz=1/4……①
又 x³+y³+z³-3xyz
=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)
=1×[2-(-1/2)]
=5/2
把x³+y³+z³=3代入
3-3xyz=5/2
3xyz=1/2
xyz=1/6
把xyz=1/6代入①得
x²y²+x²z²+y²z²+1/3=1/4
x²y²+x²z²+y²z²=-1/12
因为 x²+y²+z²=2
所以 (x²+y²+z²)²=4
x^4+y^4+z^4+2x²y²+2x²z²+2y²z²=4
所以 x^4+y^4+z^4=4-2×(-1/12)=25/6

唉，学了不用等于没学

忘了啊。好久以前的事了啊。

x^4+y^4+z^4=(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2
=(x^2+y^2+z^2)^2-2【(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2】
= 4-2【(xy+yz+zx)^2-2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)】
=4-2【(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)】
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝...

全部展开

x^4+y^4+z^4=(x^2)^2+(y^2)^2+(z^2)^2
=(x^2+y^2+z^2)^2-2【(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2】
= 4-2【(xy+yz+zx)^2-2(x^2yz+xy^2z+xyz^2)】
=4-2【(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)】
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在此先求xy+yz+zx和xyz
xy+yz+zx=【(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)】/2
=(1-2)/2
=-1/2
xyz=【x^3+y^3+z^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)】/3
=【3-1*(2+1/2)】/3
=1/6
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
带入得
=4-2(1/4-1/3)
=4+1/6
=25/6

收起