已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:⑴求y=f(x)的定义域;⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 22:19:21
![已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:⑴求y=f(x)的定义域;⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.](/uploads/image/z/2805349-13-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dlg%28a%5Ex-b%5Ex%29%2C%28a%3E1%3Eb%3E0%29%2C%E5%9B%9E%E7%AD%94%E4%B8%8B%E5%88%97%E9%97%AE%E9%A2%98%3A%E2%91%B4%E6%B1%82y%3Df%28x%29%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%3B%E2%91%B5%E5%9C%A8%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Df%28x%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E8%B1%A1%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E8%BF%87%E8%BF%99%E4%B8%A4%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8Ex%E8%BD%B4%3B%E2%91%B6%E5%BD%93a%2Cb%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E6%97%B6%2Cf%28x%29%E5%9C%A8%281%2C%2B%E2%88%9E%29%E4%B8%8A%E6%81%92%E5%8F%96%E6%AD%A3%E5%80%BC.)
已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:⑴求y=f(x)的定义域;⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:
⑴求y=f(x)的定义域;
⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;
⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
已知函数f(x)=lg(a^x-b^x),(a>1>b>0),回答下列问题:⑴求y=f(x)的定义域;⑵在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x轴;⑶当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
(1)a^x-b^x>0,a^x>b^x,
因为b^x>0,所以:(a/b)^x>1,
因为a>1>b>0,所以a/b>1
(a/b)^x>1=(a/b)^0,
{x|x>0}
(2)使得过这两点的直线平行于x轴,即:存在某个函数值对应至少两个x
y=a^x是增函数,y=-b^x是增函数,所以y=a^x-b^x是增函数,所以f(x)是增函数,因为是单调函数,所以不存在这样的两点!
(3)因为f(x)是增函数,因此只需f(1)≥0即可.
lg(a-b)≥0=lg1,a-b≥1,a≥1+b
(1)由a^x-b^x>0得( a/b)^x>1=( a/b)^0,由于( a/b)>1所以x>0,
即f(x)的定义域为(0,+∞)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
f(x1)=lg(a^x1-b^x1),f(x2)=lg(a^x2-b^x2),f(x1)-f(x2)=(a^x1-b^x1)-(a^x2-b^x2)=(a^x1-a^x2)+(b^x2...
全部展开
(1)由a^x-b^x>0得( a/b)^x>1=( a/b)^0,由于( a/b)>1所以x>0,
即f(x)的定义域为(0,+∞)
(2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
f(x1)=lg(a^x1-b^x1),f(x2)=lg(a^x2-b^x2),f(x1)-f(x2)=(a^x1-b^x1)-(a^x2-b^x2)=(a^x1-a^x2)+(b^x2-b^x1)
∵a>1>b>0,
∴y=a^x在R上为增函数,y=b^x在R上为减函数,
∴a^x1-a^x2<0,b^x2-b^x1<0
∴(a^x1-b^x1)-(a^x2-b^x2)<0,即(a^x1-b^x1)<(a^x2-b^x2)
又∵y=lgx在(0,+∞)上为增函数,
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
所以任取x1≠x2则必有y1≠y2故函函数f(x)的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.
(3)因为f(x)是增函数,所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1),
这样只需f(1)=lg^(a-b)≥0,
即当a-b≥1时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值.
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