全部 因式分解 公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 21:18:52
![全部 因式分解 公式](/uploads/image/z/2827298-2-8.jpg?t=%E5%85%A8%E9%83%A8+%E5%9B%A0%E5%BC%8F%E5%88%86%E8%A7%A3+%E5%85%AC%E5%BC%8F)
全部 因式分解 公式
全部 因式分解 公式
全部 因式分解 公式
1.运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)a2±2ab+b2=(a±b)2;
(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充几个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数;
(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1),其中n为偶数;
(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1),其中n为奇数.
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.
例1 分解因式:
(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4;
(2)x3-8y3-z3-6xyz;
(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab;
(4)a7-a5b2+a2b5-b7.
解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)
=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]
=-2xn-1yn(x2n-y2)2
=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2.
(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).
(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2
=(a-b)2+2c(a-b)+c2
=(a-b+c)2.
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:
原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)
=(a-b+c)2
(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)
=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)
=(a2-b2)(a5+b5)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)
例2 分解因式:a3+b3+c3-3abc.
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).
分析 我们已经知道公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
的正确性,现将此公式变形为
a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b).
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导.
解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc
=〔(a+b)3+c3〕-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)〔(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).
说明 公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:我们将公式(6)变形为
a3+b3+c3-3abc
显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立.
如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.
例3 分解因式:x15+x14+x13+…+x2+x+1.
分析 这个多项式的特点是:有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解.
解 因为
x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1),
所以
说明 在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用.
等一下哈!!给你复制