已知AB、CD是互相垂直的两条弦,OE⊥AD.求证：OE= 1\2 BC.

已知AB、CD是互相垂直的两条弦,OE⊥AD.求证：OE= 1\2 BC.
已知AB、CD是互相垂直的两条弦,OE⊥AD.求证：OE= 1\2 BC.

已知AB、CD是互相垂直的两条弦,OE⊥AD.求证：OE= 1\2 BC.
连接DO并延长交圆于F,连接AF,AB、DC的延长线交于点G
∠F=180°-∠ABD=∠GBD
而且∠ADF=90°-∠F ∠BDG=90°-∠GBD
所以∠ADF=∠BDG
所以AF=BC(两弦所对的圆周角相等)
所以OE=AF/2=BC/2

做辅助线

过B，O作直径BG交圆于点G，交CD于点P；过C作CH垂直BG交圆于点H；
过O作OF垂直BC交BC于F，连接OA，OD
因为 AB垂直CD，CH垂直BG
所以 角HCD+角CPG=角GBA+角BPD
因为 角CPG=角BPD
所以 角HCD=角GBA
所以 角HCD，角GBA对应的弧GA，弧HD相等
所以 弧GH=弧AD
因为 BG...

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过B，O作直径BG交圆于点G，交CD于点P；过C作CH垂直BG交圆于点H；
过O作OF垂直BC交BC于F，连接OA，OD
因为 AB垂直CD，CH垂直BG
所以 角HCD+角CPG=角GBA+角BPD
因为 角CPG=角BPD
所以 角HCD=角GBA
所以 角HCD，角GBA对应的弧GA，弧HD相等
所以 弧GH=弧AD
因为 BG是直径，CH垂直BG
所以 弧CG=弧GH
因为 弧GH=弧AD
所以 弧CG=弧AD
所以 角AOD=2角CBG
因为 OE垂直AD
所以 角AOE=角EOD=1/2角AOD
所以 角AOE=角CBG
因为 OE垂直AD，OF垂直BC
所以 角BFO=角OEA=90度
因为 OA，OB是圆的半径
所以 OA=OB
因为 角AOE=角CBG，角BFO=角OEA
所以 三角形AOE全等于三角形OBF
所以 OE=BF
因为 OF垂直BC
所以 BF=CF=1/2BC
所以 OE=1/2BC
希望满意！

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