函数f(x)=lg(x²+2x+a/x),x∈(0,+∞),若对任意x∈[1,+∞),f(x)恒有意义,试求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 10:48:56
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函数f(x)=lg(x²+2x+a/x),x∈(0,+∞),若对任意x∈[1,+∞),f(x)恒有意义,试求实数a的取值范围
函数f(x)=lg(x²+2x+a/x),x∈(0,+∞),若对任意x∈[1,+∞),f(x)恒有意义,试求实数a的取值范围
函数f(x)=lg(x²+2x+a/x),x∈(0,+∞),若对任意x∈[1,+∞),f(x)恒有意义,试求实数a的取值范围
即:对于x≥1,都有:(x²+2x+a)/(x)>0恒成立,
则:
x²+2x+a>0对一切x≥1恒成立
a>-x²-2x对一切x≥1恒成立
a>(-x²-2x)在x≥1时的最大值,而当x≥1时,-x²-2x的最大值是-3
得:a>-3
原题就是求a,满足如下不等式
x²+2x+a/x>0
x^3+2x²+a>0
x²(x+2)>a
因x∈[1,+∞),要使上式恒成立,则只需a<3即可
任意x∈[1,+∞),f(x)恒有意义
即x²+2x+a/x>0
x³+2x²+a>0
x²(x+2)>-a
∵x²(x+2)在[1,+∞)上单调递增
∴1×(1+2)>-a
∴a>-3