作业帮求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 13:35:38
求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
求积分 ∫((x^2)/sqrt(x^2+x+1))dx
用三角代换可证明以下二不定积分公式：
∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln[x+√(x^2+a^2)]+C,
∫dx/√(x^2+a^2)=ln(x+√(x^2+a^2)+C,
原式=∫（x^2+x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)∫(x+1)dx/√(x^2+x+1)-(1/2)）∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√(x^2+x+1)dx-(1/2)∫(d(x^2+x+1)/√(x^2+x+1)-（1/2）∫dx/√(x^2+x+1)
=∫√[(x+1/2)^2+3/4]d(x+1/2)-(1/2)(x^2+x+1)^(-1/2+1)/（-1/2+1）-∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)^2+3/4]
=(1/2)*（x+1/2）√（x^2+x+1)+（3/8）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)-（1/2）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]+C
=（1/2）*（x+1/2）√（x^2+x+1)-（1/8）ln[x+1/2+√(x^2+x+1)]-√(x^2+x+1)+C.
因为：√(x²+x+1)=√[(x+1/2)²+3/4]
=√3/2√[(2/√3(x+1/2))²+1]
所以可设：2(x+1/2)/√3=tant t∈(-π/2，π/2)
--->x=√3tant/2-1/2,dx=√3sec²tdt/2
x²=3tan²t/4-√3t...
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因为：√(x²+x+1)=√[(x+1/2)²+3/4]
=√3/2√[(2/√3(x+1/2))²+1]
所以可设：2(x+1/2)/√3=tant t∈(-π/2，π/2)
--->x=√3tant/2-1/2,dx=√3sec²tdt/2
x²=3tan²t/4-√3tant/2+1/4
所以原积分=∫(3tan²t/4-√3tant/2+1/4)dt/(√3sect/2)
=(2√3/3)∫[(3/4)tan²tcost-(√3/2)sint+(1/4)cost]dt
=(2√3/3)[(3/4)∫(sin²t/cost)dt-(√3/2)∫sintdt+(1/4)∫costdt]
=(2√3/3)[(3/4)∫(1-cos²t)dt+(√3/2)cost+(1/4)sint]
=(2√3/3)[(3/4)∫sectdt-(3/4)∫costdt+(√3/2)cost+(1/4)sint]
=(2√3/3)[(3/4)ln|sect+tant|-(3/4)sint+(√3/2)cost+(1/4)sint]
=(2√3/3)[(3/4)ln|sect+tant|-sint/2+√3cost/2]
利用2(x+1/2)/√3=tant作辅助△，则有：
cost=1/√((4(x+1/2)²+3)/3)
sint=√[(4(x+1/2)²)/4(x+1/2)²+3]
sect=1/cost=√((4(x+1/2)²+3)/3)
将它们代入上式即可。太复杂了，你自己代吧。
收起
>> syms x
>> y=(x^2)/sqrt(x^2+x+1);
>> int(y,x)
ans =
1/2*x*(x^2+x+1)^(1/2)-3/4*(x^2+x+1)^(1/2)-1/8*asinh(2/3*3^(1/2)*(x+1/2))