已知函数f(x)的定义域是{x丨x≠0},对定义域内的任意的x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)且x>1,f(x)>0.求证f(x)是偶函数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/31 07:49:12
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已知函数f(x)的定义域是{x丨x≠0},对定义域内的任意的x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)且x>1,f(x)>0.求证f(x)是偶函数
已知函数f(x)的定义域是{x丨x≠0},对定义域内的任意的x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)且x>1,f(x)>0.
求证f(x)是偶函数
已知函数f(x)的定义域是{x丨x≠0},对定义域内的任意的x1,x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)且x>1,f(x)>0.求证f(x)是偶函数
.根据f(x1x2)=f(x1)+f(x2),有f(-1*1)=f(-1)+f(1),即f(-1)=f(-1)+f(1)
所以f(1)=0
同理,f(1)=f(-1*-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0
所以f(-1)=0
f(-x)=f(x*-1)=f(x)+f(-1)=f(x)
又定义域是关于原点对称.
所以函数是偶函数.
不可能是偶函数。看这条件,对数函数(a>1)满足条件,只能说明它是增函数
证明:∵f(-1)=f(-1×1)=f(-1)+f(1),∴f(1)=0
∵ f(1)=f([(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0
∴f(-1)=0
f(-x)=f[x×(-1))]=f(x)+f(-1)=f(x)
又定义域是关于原点对称。
所以函数是偶函数。
f(x)+f(-x)=0
令x1=x2=1
则
f(1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
令x1=x2=-1
f(1)=f(-1)+f(-1)=0
f(-1)=0
令x2为-1
则
f(-x1)=f(x1)+f(-1)=f(x1)+0=f(x1)
即
f(x)=f(-x)
所以
函数为偶函数。
由于f(x^2)=2f(x)=2f(-x),所以f(x)=f(-x).而f(x)=f(x)+f(1),所以f(1)=0故f(x)为偶函数,且关于x=1对称
太快了