若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 21:41:37
若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————
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若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————
若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————

若a,b∈R,且4≤a^2+b^2≤9,则a^2-ab+b^2的最大值与最小值之和是————
∵(a+b)2≥0或(a-b)2≥0,∴-(a2+b2)≤2ab≤a2+b2,
∵4≤a2+b2≤9,进而可得-9≤2ab≤4,
解可得,-9/2≤ab≤2,∴-2≤-ab≤9/2,
∴-2+4≤a2-ab+b2≤9/2+9,即2≤a2-ab+b2≤27/2.
∴所求的最大值与最小值之和是:2+27/2=31/2
答案应为:31/2
4≤a^2+b^2≤9
分别以a,b为横纵坐标,则上式表示的是一个圆环,圆心在坐标原点,内园半径为2,外园半径为3
4-ab≤a^2-ab+b^2≤9-ab
当a,b在内圆上,且a=b=√2时,ab=2最大,则4-ab的最小值为2;
当a,b在外圆上,且a=-b=3√2/2时,ab=-9/2最小,则9-ab的最大值为13.5;
∴最大值与最小值之和是15.5
由于条件给出了a^2+b^2这个东西的范围,所以考虑用三角换元(乘上一个半径r).实际上,如果把a和b分别看成x和y,画在坐标系里,范围就是一个圆环.
三角换元之后,就代进去化简求最值啦.
令a=rcosx,b=rsinx(2

∵(a+b)2≥0或(a-b)2≥0,∴-(a2+b2)≤2ab≤a2+b2,
∵4≤a2+b2≤9,进而可得-9≤2ab≤4,
解可得,-9/2≤ab≤2,∴-2≤-ab≤9/2,
∴-2+4≤a2-ab+b2≤9/2+9,即2≤a2-ab+b2≤27/2.
∴所求的最大值与最小值之和是:2+27/2=31/2
答案应为:31/2

答案是15.5
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