如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 15:24:59
如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆
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如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆
如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.
求证：C,E,O,F四点共圆

如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆

证明:链接CO交AB于点H      链接AO交BC于点G  

∵AB=AC  即：∠B=∠BCA   且O是△ABC的外心

∴AG⊥BC

∵EF平行AB

∴∠EFC=∠ADC

又∵∠ADC=∠B+∠BCD

∴∠EFC=∠B+∠BCD

又∵∠B=∠BCA

∴∠EFC=∠BCA+∠BCD

又∵O是△ABC的外心

∴AO=OC  即：∠OCA=OAC

又∵∠ACB的平分线交AB于点D

∴∠BCD=∠DCA  又∵ ∠OCA=OAC

∴∠EFC=∠BCA+∠DCA 即：∠EFC=∠BCA+∠CAG+∠OCD

又∵AG⊥BC

∴∠BCA+∠CAG=90°

∴∠EFC=90°+∠OCD

∵EO⊥CD  又∵∠COE是△OMC的外角

∴∠COE=∠HOM=90°+∠OCD (说明点M是EO交CD的点）

∴∠COE=∠EFC

∴C,E,O,F四点共圆

连接OC，OA
∠OEF=∠OEC-∠FEC= 90度 - ∠ECD - ∠A = 90度 - 1/2∠ACB - ∠A
= 1/2∠A + ∠ACB - 1/2∠ACB - ∠A = 1/2(∠ACB -∠A)
∠OCF = ∠ECF - ∠OCE = 1/2∠ACB - ∠OAC = 1/2(∠ACB -∠A)
所以 ∠OEF = ∠OCF， ===》 C,E,O,F四点共圆

etyeyshu

如图,在锐角三角形abc中,高ad=12,边ac=13,bc=14,求ab=? 如图,已知在锐角三角形ABC中,AB 如图,在△ABC中,在边BC上确定点P,使点P到AB,AC距离相等.（画图题）三角形ABC为锐角三角形 如图在锐角三角形ABC中 AC=6 △ABC的面积为15如图在锐角三角形ABC中 ,AC=6,△ABC的面积为15,∠BAC的平分线交BC与点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是? 如图.在△ABC中,AB=AC, 8,如图,在△ABc中,AB=AC, 如图,在三角形ABC中,角A=60度,AC=9cm,AB=6cm,求BC的长.图是：一个锐角三角形. 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC,AD=12,AC=13,BC=14,则AB=( ) 一道数学题,如图,在三角形ABC中,AD是角BAC的角平分线,求证AB:AC=BC:CD,（三角形为锐角三角形） 如图,在△ABC,△DEF均为锐角三角形,AB=DE,AC=DF.∠B=∠E,求证△ABC≌△DEF 在锐角三角形ABC中,已知AB=4,BC=6,AC=5,求△ABC的三条高长 如图,在锐角三角形ABC中,AB＞AC,AD垂直于D,以AD为直径的图O分别交AB,AC于E,F 如图,在锐角三角形ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别等于18和2,DE=2根号2,求点B到直线AC的距离 如图,在△ABC中,△ABC为锐角三角形,边AB、AC的垂直平分线交于点O,连接OB、OC,求证：∠BOC=2∠A 如图,在△ABC中,△ABC为锐角三角形,边AB,AC的垂直平分线交于点O,连接OB,OC,求证:∠BOC=2∠A 如图在锐角三角形ABC中 ,AC=6,△ABC的面积为15,∠BAC的平分线交BC与点D,M、N分别是如图在锐角三角形ABC中 ,AC=6,△ABC的面积为15,AD平分∠BAC交BC于D,M,N分别是AD和AB上的动点,求BM+MN的最小值. 如图.在锐角三角形ABC中.AB=AC.自顶点B引向AC边的高线BD恰等于AC的一半.求∠DBC的度数? 如图,锐角三角形ABC中,BE,CF是AC,AB上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,使CQ=AB,求证：AP=AQ,AP⊥AQ