作业帮二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a为正整数,c>=1,a+b+c>=1,方程ax^2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,求a的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 20:57:44
二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a为正整数,c>=1,a+b+c>=1,方程ax^2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,求a的最小值
二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a为正整数,c>=1,a+b+c>=1,方程ax^2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,求a的最小值
二次函数f(x)=ax^2+bx+c,a为正整数,c>=1,a+b+c>=1,方程ax^2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,求a的最小值
方程aX^2+bX+c=0有两个小于1的不等正根==>
ⅰ)二次函数f(x)=aX^2+bX+c,在X≤0时递减.
==》在X≤0时,aX^2+bX=[aX+b]X≥0
==》在X≤0时,[aX+b]≤0
==》b≤0.
ⅱ）二次函数f(x)=aX^2+bX+c,在1≤X时递增.
==》在1≤X时,aX^2+bX=[aX+b]X≥0
==》在X≥1时,[aX+b]≥0
==》a+b≥0.
ⅲ）二次函数f(x)的最小值=[4ac-b^2]/4a
4ac4ac≥4a≥-4b==>
ba≥-b>4
则a的最小值≥5
而5X^2-4.5X+1=5（X-0.4）（X-0.5）,
所以a的最小值=5
a的最小值应该趋于1。
整理上面的条件，我们可以知道：
a>0; (1)
c>=1; (2)
a+b+c>=1; (3)
b^2-4ac>0; (4)
0<(-b+-sqrt(b^2-4ac))/2a<1; (5)
因为两根都是正的，所以b<0 （两根之和为-b/a）。
根据(4)，a需要满足 a
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a的最小值应该趋于1。
整理上面的条件，我们可以知道：
a>0; (1)
c>=1; (2)
a+b+c>=1; (3)
b^2-4ac>0; (4)
0<(-b+-sqrt(b^2-4ac))/2a<1; (5)
因为两根都是正的，所以b<0 （两根之和为-b/a）。
根据(4)，a需要满足 a
综上所述，a的最小值趋于1 （b趋于-2，c=1）。
举例：a=1.02, b=-2.02, c=1满足所有条件。
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