作业帮若函数f (x)=|x|/(x+2)-kx^3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 15:45:41
若函数f (x)=|x|/(x+2)-kx^3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为
若函数f (x)=|x|/(x+2)-kx^3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为
若函数f (x)=|x|/(x+2)-kx^3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为
【注:x³=x·x²=x·|x|²=|x|·x·|x|.易知,函数f(x)可化为f(x)=|x|{[1/(x+2)]-kx|x|}.显然,x=0是该函数的一个零点,故问题可化为:若函数g(x)=[1/(x+2)]-kx|x|有两个不同的零点,(两零点均非0),求k的取值范围.继而又可化为:若两曲线h(x)=1/(x+2)与u(x)=kx|x|有两个不同的交点,求k的取值范围.此时可分k>0,k0.
易知f(x)是奇函数，且x=0是一个根。
所以只要看f(x)的右半边的根的情况就可以了。
要满足三个根，只要右半边只有一个根就可以了。
而当x>0时，f(x)=x/(x+2)-kx^3。
此时f(x)=x(1/(x+2)-kx^2),令f(x)=0,因为x>0,所以f(x)=0,即1/(x+2)-kx^2=0,即1-kx^2(x+2)=0有一个根时满足条件，且易知k...
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易知f(x)是奇函数，且x=0是一个根。
所以只要看f(x)的右半边的根的情况就可以了。
要满足三个根，只要右半边只有一个根就可以了。
而当x>0时，f(x)=x/(x+2)-kx^3。
此时f(x)=x(1/(x+2)-kx^2),令f(x)=0,因为x>0,所以f(x)=0,即1/(x+2)-kx^2=0,即1-kx^2(x+2)=0有一个根时满足条件，且易知k必须大于零。
令g(x)=1-kx^2(x+2),则g′(x)=-3kx^2-4kx,可推得g′(x)<0所以g(x)单调递减g(0)=1,g(1/√k)=1-(2+√k)<0。
所以g(x)在（0，+∞）上只有一个根，这个根在区间（0，1/√k）中。
所以当k>0时方程f(x)=0有三个不同的根。
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