已知x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/28 22:51:09
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已知x>0,y>0,x+y+xy=2,则x+y的最小值是?
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你好
x+y+xy=2 两边加1
1+x+y+xy=3
(x+1)(y+1)=3
x+y
=(x+1)+(y+1)-2【前两项用均值不等式】
≥2√[(x+1)(y+1)]-2
=2√3-2
当且仅当x=y=√3-1时取最小值2√3-2
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由X+Y+XY=2得
y=(2-x)/(x+1)
所以x+y=x+(2-x)/(x+1)
令b=x+(2-x)/(x+1)
则x^2-bx+2-b=0
要使x存在
必须△≥0
即b^2-4(2-b)≥0
解得b≤-2-2√3或b≥-2+2√3
因此X+Y的最小值是-2+2√3
令t=x+y>0,
则xy≤(t/2)²,代入x+y+xy=2,得t+(t/2)²≥2,即(t+2)²≥12,
由于t>0,所以t≥2(√3-1),
当且仅当x=y=√3-1时,t=x+y取最小值2(√3-1)。