圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 15:09:18
![圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具](/uploads/image/z/3035047-31-7.jpg?t=%E5%9C%86%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%8E%A8%E5%AF%BC%E8%B0%81%E9%83%BD%E7%9F%A5%E9%81%93S%3D%E5%9C%86%E5%91%A8%E7%8E%87%C3%97R%5E2.%E4%BD%86%E8%B0%81%E4%BC%9A%E6%8E%A8%E5%AF%BC%3F%E6%89%80%E6%9C%89%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E9%83%BD%E6%89%BE%E4%B8%8D%E5%88%B0.%E6%88%91%E8%A6%81%E4%B8%A5%E8%B0%A8%E7%9A%84%E6%8E%A8%E5%AF%BC%2C%E4%B8%8D%E8%A6%81%E6%83%B3%E5%BD%93%E7%84%B6%E7%9A%84.%E8%83%BD%E7%94%A8%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A7%A3%E5%86%B3%E6%9C%80%E5%A5%BD.%E5%AE%9E%E5%9C%A8%E4%B8%8D%E8%A1%8C%E7%9A%84%E8%AF%9D%2C%E8%A6%81%E7%94%A8%E5%AE%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E4%B9%9F%E8%A1%8C%2C%E4%BD%86%E6%9C%80%E5%A5%BD%E5%88%AB%E7%94%A8%E5%8F%82%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B.%E8%A6%81%E4%B8%A5%E8%B0%A8%E8%AF%A6%E7%BB%86%E5%85%B7)
圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具
圆面积公式推导
谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具体一点,要能看得懂,能理解.吾甚惑之,
好像有点看得懂。我定积分没学好,弄不清楚,能否给个图,给个方程。积分变量最好不要换来换去ok?
圆面积公式推导谁都知道S=圆周率×R^2.但谁会推导?所有书上都找不到.我要严谨的推导,不要想当然的.能用初等数学解决最好.实在不行的话,要用定积分也行,但最好别用参数方程.要严谨详细具
用单位圆说明(r=1)
在第一象限中:
∫(1-x^2)^(1/2)*dx
=∫(1-sint*sint)^(1/2)*d(sint)(t从0到π/2)
=∫cost*cost*dt
=0.25*∫[1+cos(2t)]*d(2t)
=0.25*∫du+0.25*∫cosu*du(u从0到π)
=0.25π+0.25*(sinπ-sin0)
=0.25π
∴在四个象限中:
S=4*0.25π=π
S=派R^2
设圆的方程:x^2+y^2=R^2 (x,y是圆在平面直角坐标系中的坐标,R为半径。)
取第一象限的四分之一圆,
积分 得出1/4个圆面积*4=派R^2
应该是把园看成一个正多边形,比如正八边形,正12边形,边数越多越好。祖冲之推圆周率时就是用这个方法一个一个算的。
设圆的半径R,在圆上无限临近两点A、B,分别作半径OA、OB,他们的夹角Δα,因AB无限靠近,弧AB与线段AB已经没什么区别,所以三角形OAB的面积为
Δs=(1/2)AB*R=(1/2)RΔα*R
圆的面积
S=无数个Δs之和=(1/2)R^2*无数个圆心角Δα之和=(1/2)R^2*2π=πR^2...
全部展开
设圆的半径R,在圆上无限临近两点A、B,分别作半径OA、OB,他们的夹角Δα,因AB无限靠近,弧AB与线段AB已经没什么区别,所以三角形OAB的面积为
Δs=(1/2)AB*R=(1/2)RΔα*R
圆的面积
S=无数个Δs之和=(1/2)R^2*无数个圆心角Δα之和=(1/2)R^2*2π=πR^2
收起