作业帮已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：若存在非零常数k,在定义域内等式f(kx)=k/2 +f(x)恒成立.（1） 判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M；（2） 证明f(x)=log2 x属于M,并找到一个常数k.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 16:30:37
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：若存在非零常数k,在定义域内等式f(kx)=k/2 +f(x)恒成立.（1） 判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M；（2） 证明f(x)=log2 x属于M,并找到一个常数k.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：若存在非零常数k,在定义域内等式f(kx)=k/2 +f(x)恒成立.
（1） 判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M；
（2） 证明f(x)=log2 x属于M,并找到一个常数k.
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：若存在非零常数k,在定义域内等式f(kx)=k/2 +f(x)恒成立.（1） 判断一次函数f(x)=ax+b(a≠0)是否属于集合M；（2） 证明f(x)=log2 x属于M,并找到一个常数k.
由题意,
(1)不属于.理由是：
假设存在符合条件的非零常数k,则
对任意x∈R,等式g（kx）=k/2+g（x）成立.
g（kx）=a（kx）+b,
g（kx）=k/2+g（x）=ax+b+k/2,所以有
a（kx）+b=ax+b+k/2.
因为x∈R,所以取x=0,则b=b+k/2,
解得k=0,与题设矛盾,所以不存在符合条件的非零常数k,
所以一次函数g（x）=ax+b（a≠0）不属于集合M.
问题（2）
1）首先,由于h(x)与y=x有交点,故方程x=a^x总有非负解.
2）其次,由于h(kx)=log(k)+log(x)(以a为底）＝log(k)+h(x),至此,问题等价于证明方程k=a^(k/2)＝（sqrt(a))^k(关于k的方程)有非负解.由于1),易知k=a^(k/2)关于k总有非负解（只需注意a>a^(1/2),利用对数曲线的几何性质即知）,所以h(x)属于函数类M.