作业帮设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0),且满足[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]≤0恒成立 (1)求f(1)的值（2）求f（x）的解析式（3）求证∑(1/f(k))>2n/(n+2).
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 13:41:50
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设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0),且满足[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]≤0恒成立 (1)求f(1)的值（2）求f（x）的解析式（3）求证∑(1/f(k))>2n/(n+2).
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0),且满足[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]≤0恒成立
(1)求f(1)的值
（2）求f（x）的解析式
（3）求证∑(1/f(k))>2n/(n+2)
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设二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0),且满足[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]≤0恒成立 (1)求f(1)的值（2）求f（x）的解析式（3）求证∑(1/f(k))>2n/(n+2).
（1）由于[f(x)-x]*[f(x)-(x^2+1)/2]≤0恒成立,将x=1待入得出（a+b+c-1）^2≤0,因此（a+b+c-1）^2=0,得到f（1）=1.
（2）由f（-1）=0,f（1）=1,得到b=1/2,a+c=1/2.将这两个结果带出那个不等式得到[ax^2+(1/2-1)x+c]*[(a-1/2)x^2+1/2x+c-1/2]≤0.化简下
[ax^2-1/2x+c]*[(-c)x^2+1/2x+（-a）]≤0,
再得[ax^2-1/2x+c]*[cx^2+1/2x-a]》0,要使这个恒成立只要a=c=1/4.
f(x)=1/4x^2+1/2x+1/4.
(3)∑(1/f(k))=4∑1/(k^2+2k+1)=4∑1/(k+1)^2>4∑1/(k+1)(k+2)=4[(1/2-1/3)+(1/3-1/4)……+1/(n+1)-1/(n+2)]=4(1/2-1/(n+2))=2n/(n+2).
证完!