已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/03 16:30:34
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1
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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1
已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若对x1,x2∈R且x1
证明:
∵f(x1)≠f(x2).
不妨设f(x1)<f(x2).
另设f(x1)=A1,f(x2)=A2,A=(A1+A2)/2.
易知,A1<A<A2.
构造函数g(x)=f(x)-A.(x1<x<x2)
g(x1)=f(x1)-A=A1-A<0.
g(x2)=f(x2)-A=A2-A>0.
∴由“零点存在定理”可知,
必存在实数m∈(x1,x2),
满足g(m)=f(m)-A=0.
即满足f(m)=[f(x1)+f(x2)]/2.
∴方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]/2在(x1,x2)内必有一实数根.

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.若对x1,x2∈R且x1当x2<-b/(2a)或x1>-b/(2a)时:
可知f(x)在(x1,x2)内是单调的。不妨设f(x1)<f(x2),则必有f(x1)<1/2[f(x1)+f(x2)]<f(x2),因此必...

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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c.若对x1,x2∈R且x1当x2<-b/(2a)或x1>-b/(2a)时:
可知f(x)在(x1,x2)内是单调的。不妨设f(x1)<f(x2),则必有f(x1)<1/2[f(x1)+f(x2)]<f(x2),因此必然存在实数m∈(x1,x2)满足f(m)=1/2[f(x1)+f(x2)]。同理当f(x1)>f(x2)时也成立。
当x1<-b/(2a)且x2>-b/(2a)时:
若-b/(2a)-x1<x2+b/(2a),可设x1′=-b/a-x1,则有f(x1′)=f(x1),且f(x)在(x1′,x2)是单调的,以后证法同上。同理当-b/(2a)-x1>x2+b/(2a)时也成立

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