设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根

设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根
设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根

设a,b,c都是奇数,证明方程ax²+bx+c=0没有有理根
假设这个方程的有理根x=d/f d和f互质
代入得ad^2 /f^2 +bd/f +c=0
即ad^2+bdf+cf^2=0
假设d为奇数
那么ad^2为奇数
bd为奇数
因为ad^2+bdf+cf^2=0 0是偶数 ad^2为奇数
所以bdf项和cf^2 项有一个是奇数 有一个是偶数
若bdf是奇数 那么f必为奇数 而cf^2也是奇数...矛盾
若cf^2是奇数 那么f是奇数 bdf也是奇数 矛盾
所以d只可以是偶数
当d为偶数时
ad^2为偶数
因为ad^2+bdf+cf^2=0 0是偶数 ad^2为偶数
所以bdf项和cf^2 项要么两项都是奇数 要么两项都为偶数
由于无论f为何值
bdf总为偶数
所以cf^2只能为偶数
所以f为偶数
因为d f都为偶数 与d和f互质矛盾
所以
ax²+bx+c=0没有有理根

假设方程有有理根
那么b²-4ac是平方数
设b²-4ac=k²
(b-k)(b+k)=4ac
因为b^2-4ac为奇数，所以k为奇数
不妨设b=2m-1,k=2n-1
(b-k)(b+k)=4(m-n)(m+n-1)
(m-n)+(m+n-1)=2m-1为奇数
因此(m-n)，(m+n-1)中有一个是偶...

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假设方程有有理根
那么b²-4ac是平方数
设b²-4ac=k²
(b-k)(b+k)=4ac
因为b^2-4ac为奇数，所以k为奇数
不妨设b=2m-1,k=2n-1
(b-k)(b+k)=4(m-n)(m+n-1)
(m-n)+(m+n-1)=2m-1为奇数
因此(m-n)，(m+n-1)中有一个是偶数
因此2整除(m-n)(m+n-1)，那么8整除4(m-n)(m+n-1)=(b-k)(b+k)=4ac
即2整除ac
而ac为奇数，矛盾

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