两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 13:09:42
两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
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两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
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两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢
首先这里的公共根要包含虚根, 否则有反例, 如f(x) = g(x) = x³-2.
设f(x)与g(x)是两个有理系数多项式, 并有公共的无理根α.
考虑f(x)与g(x)的最大公因式, 设为d(x), 不妨设d(x)首项系数为1.
有一个定理说: 存在有理系数多项式u(x)与v(x), 使u(x)f(x)+v(x)g(x) = d(x).
于是由α是f(x)与g(x)的公共根, 可知α也是d(x)的根.
若d(x)只有α一个根(不计重数), 则d(x) = (x-α)^k, k ≥ 1 (已设d(x)首1).
由d(x)为有理系数多项式, 其k-1次项系数-kα为有理数, 于是得到α为有理数, 矛盾.
故d(x)有α以外的根, 即存在β ≠ α, 使d(β) = 0.
而d(x)是f(x)与g(x)的公因式, 因此d(x)的根同时是f(x)与g(x)的根.
所以β也是f(x)与g(x)的公共根, 即f(x)与g(x)有α以外的公共根, 证毕.
可以看到三次的条件是可以去掉的, 而整系数条件可减弱为有理系数.
有疑问请追问.

整系数三次多项式如有一个无理根，这必有另一个共轭的无理根。
所以两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根为什么一定有那个共轭的无理根 这个怎么证明？整系数三次多项式必能分解成一个整系数一次因式和一个整系数二次因式，而整系数二次因式若有无理根则必共轭，这可由求根公式可知。整系数三次多项式必能分解成一个整系数一次因式和一个整系数二次因式 这个怎么来的？整系数多项式因式...

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整系数三次多项式如有一个无理根，这必有另一个共轭的无理根。
所以两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根

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两整系数三次多项式有一个公共的无理根 则这两个多项式还有一个公共根 怎么证明? 谢谢 有理系数多项是无理根是否有类似实系数多项式虚根共轭的情况,请给予 证明. 为什么整系数多项式方程的实根必为整根或无理根?（要求证明）若是二次的呢？ 甲:这是一个三次三项式; 乙:三次项系数为1; 丙,这个多项式的各项有公因式; 丁:把这个多项式因式分解时要用甲:这是一个三次三项式;乙:三次项系数为1;丙,这个多项式的各项有公因式;丁:把这 列一个多项式满足1.三次三项式2.三项系数为1 3.多项式的各项有公因式 4.分解因式是要用到公式法 一道高中函数题,有一定难度设t是三次多项式f(x)=x^3-3x+10的一个根,且a=(t^2+t-2)/2,若h(x)是一个有理系数的二次多项式,满足h(a)=t,则h(0)=?一楼的解答不正确 一个关于X的三次四项式,三次项的系数是1,二次项的系数是2,常数项是 -2,则这个多项式是_____?__ 老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解 老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述： 甲：这是一个三次三项式乙：三次项系数为1,丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式 老师给出一个多项式,甲、乙、丙、丁4位同学分别给了一个关于此多项式的描述甲：这是一个三次三项式 乙：三次项系数为1丙：这个多项式各项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公 有一个关于X的三次三项式,其三次项系数是3,二次项系数是-2,一次项系数是-1,则这个三次三项式是?大神 有一个关于x的三次三项式,其三次项系数是3,二次项是-2,一次项是-1,则这个三次三项式是? f(x)是一个实系数的三次多项式,且f(i)=0,f(1+i)=5,则f(x)=______? 1.代数式ab^4-5ac+7有（）项,它们的系数分别是（）.2.一个有关于y的四次三项式不含二次项和三次项,最高项系数为1/2,一次项系数是-1,常数项为2的3次幂的相反数,则这个多项式是（）. 整系数多项式的有理根 老师写出了一个多项式,甲乙丙丁四位同学分别给出了一个关于此多项式的描述：甲：这个多项式的各项有公因式x乙：这是一个三次三项式；丙：这个多项式的系数为1丁：这个多项式分解因 老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1,常数项为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多 多项式1、当a,b满足条件______时,多项式f(x)=x^3+3ax+b才能有重因式.2、以（根2+根3）为根的次数最小的,且最高次项系数是1的有力系数多项式为______.3、已知实系数多项式x^3+px+q有一个虚根3+2i,则