(2012•淄博)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.(1)当点G与点D重合时,求x的值;(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/12 00:14:56
![(2012•淄博)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.(1)当点G与点D重合时,求x的值;(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值](/uploads/image/z/3189618-18-8.jpg?t=%EF%BC%882012%26%238226%3B%E6%B7%84%E5%8D%9A%EF%BC%89%E5%9C%A8%E7%9F%A9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CBC%3D4%2CBG%E4%B8%8E%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%B8%94%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4AC%2CAD%E5%8F%8A%E5%B0%84%E7%BA%BFCD%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2CF%2CG%2CAB%3Dx%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93%E7%82%B9G%E4%B8%8E%E7%82%B9D%E9%87%8D%E5%90%88%E6%97%B6%2C%E6%B1%82x%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BD%93%E7%82%B9F%E4%B8%BAAD%E4%B8%AD%E7%82%B9%E6%97%B6%2C%E6%B1%82x%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%8F%8A%E2%88%A0ECF%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%80%BC)
(2012•淄博)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.(1)当点G与点D重合时,求x的值;(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
(2012•淄博)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
(2012•淄博)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x.(1)当点G与点D重合时,求x的值;(2)当点F为AD中点时,求x的值及∠ECF的正弦值
分析:(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合,在由AC与BD垂直,利用对角线垂直的矩形为正方形,得到ABCD为正方形,由正方形的四条边相等得到AB=BC=4,可得出x的值为4;
(2)由矩形的对边相等,得到AD=BC=4,又F为AD的中点,得到AF=2,再由矩形的对边平行,得到AF与BC平行,由两直线平行得到两对内错角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形AEF与三角形CEB相似,且相似比为1:2,得到EC=2AE,BE=2EF,即AC=3AE,BF=3EF,在三角形ABC和三角形ABF中,分别利用勾股定理得到AC2=AB2+BC2,BF2=AF2+AB2,将各自的值代入,两等式左右两边分别相加,得到9(AE2+FE2)=2x2+20,又在直角三角形ABE中,利用勾股定理得到AE2+FE2=AB2=x2,列出关于x的方程,求出方程的解即可得到x的值;由F为AD的中点,利用对称性得到BF=CF,由AF平行与BC,得到两对内错角相等,进而确定出三角形AEF与三角形BEC相似,由相似得比例,且相似比为1:2,利用锐角三角函数定义即可求出∠ECF的正弦值.(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合,
∵矩形ABCD中,AC⊥BG,
∴四边形ABCD是正方形,
∵BC=4,
∴x=AB=BC=4;
(2)∵点F为AD中点,且AD=BC=4,
∴AF=12AD=2,
∵矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAF=∠ECB,∠AFE=∠CBE,
∴△AEF∽△CEB,
∴AECE=FEBE=AFCB=24=12,
∴CE=2AE,BE=2FE,
∴AC=3AE,BF=3FE,
∵矩形ABCD中,∠ABC=∠BAF=90°,
∴在Rt△ABC和Rt△BAF中,AB=x,
分别由勾股定理得:AC2=AB2+BC2,BF2=AF2+AB2,即(3AE)2=x2+42,(3FE)2=22+x2,
两式相加,得9(AE2+FE2)=2x2+20,
又∵AC⊥BG,
∴在Rt△AEF中,根据勾股定理得:AE2+FE2=AF2=4,
∴36=2x2+20,
解得:x=22或x=-22(舍去),
故x=22;
∵F为AD的中点,
由对称性得到BF=CF,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴EFEB=AFCB=12,
∴sin∠ECF=EFCF=EFBF=13.点评:此题考查了相似型综合题,涉及的知识有:正方形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,以及锐角三角函数定义,利用了方程的思想,是一道综合性较强的试题.