为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 01:47:55
为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3?
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为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3?
为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3?

为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3?
电脑显示出来有点难看,你自己按照这个思路这不能改名吧
证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2 小朋友不要写
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 =pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以 V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3

把圆锥沿高分成k分
每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^...

全部展开

把圆锥沿高分成k分
每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3

收起

你可以做一个实验，三杯圆锥沙等于一杯圆柱沙，我做过实验的。

你可以 拿一个沙漏 自己做做实验 多动脑筋

为何一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3? 一个圆锥与一个圆柱等底等高,则圆锥的体积等于圆柱体积的（）,圆柱的体积等于圆锥体积的（） 一个圆锥比与它等底等高的圆柱的体积小5cm,这个圆锥体积是多少 一个圆柱比与它等底等高的圆锥的体积大18立方米,圆柱的体积是多少 数学圆锥与圆柱一个圆锥比一个与它等底等高的圆柱体体积少4.8立方分米.圆柱和圆锥的体积各是多少? 一个圆柱体积与一个和它等底等高的圆锥体积之和是160立方厘米,圆柱的体积是{ },圆锥的体积是 圆锥的体积V等于和它等底等高的圆柱体积的()分之(), 圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三分之一 一个圆锥比一个与它等底等高的圆柱的圆柱体积少3.6立方分米.圆锥和圆柱的体积各 一个圆锥的体积比与它等底等高的圆柱体积少2.4.圆锥的体积是…….圆柱的体积是……. 一个圆柱体积碧与它等底等高的圆锥的体积大36立方厘米,圆锥体积是()立方厘米,圆柱体积是（）立方厘米. 一个圆锥比与它等底等高的圆柱少39立方厘米,圆柱的体积是?急 一个圆柱的体积比一个与它等底等高的圆锥的体积大多少倍 一个圆锥体积与它等底等高的圆柱体积少6.28立方厘米,那么圆柱体积是（ ）立方厘米,圆锥体积是（）立方厘 一个圆锥体积与它等底等高的圆柱体积少6.28立方厘米,那么,圆柱体积是（ ）立方厘米,圆锥体积是()立方厘 一个圆柱的体积是75.36立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是多少立方米?一个圆锥的体积是141.3立方厘米,与它等底等高的圆柱的体积是多少立方厘米? 一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积之和是144立方厘米,圆柱的体积是多少,圆锥的体积是多少 一个圆锥和与它等底等高的圆柱的体积相差12立方厘米,圆锥的体积是?圆柱的体积是?