高三数学:a>b>0,c属于R,2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2的最小值是多少?求详解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 16:42:23
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高三数学:a>b>0,c属于R,2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2的最小值是多少?求详解
高三数学:a>b>0,c属于R,2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2的最小值是多少?求详解
高三数学:a>b>0,c属于R,2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2的最小值是多少?求详解
2a^2+1/ab+1/a(a-b)-4ac+4c^2=a^2+1/ab+1/a(a-b)+(a^2-4c)^2
》a^2+1/ab+1/a(a-b)=a^2+1/b(a-b)=[(a-b)-b]^2+1/b(a-b)=(a-b)^2+b^2-2(a-b)b+1/b(a-b)
》2(a-b)b+2(a-b)b+1/b(a-b)=4(a-b)b+1/b(a-b)》4 ,所以最小值是4
当且仅当a-b=b,4(a-b)b=1/b(a-b时取等号
易知,原式可以“凑形”为三个部分:原式=(2c-a)²+{ab+[1/(ab)]}+{a(a-b)+[1/a(a-b)]}.∵a>b>0.∴ab>0,a(a-b)>0.∴由基本不等式可得:ab+(1/ab)≥2.且a(a-b)+[1/a(a-b)]≥2.又(2c-a)²≥0.三个式子中的等号仅当ab=1,a(a-b)=1.2c-a=0时取得,即当a=√2,b=c=√2/2时取得...
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易知,原式可以“凑形”为三个部分:原式=(2c-a)²+{ab+[1/(ab)]}+{a(a-b)+[1/a(a-b)]}.∵a>b>0.∴ab>0,a(a-b)>0.∴由基本不等式可得:ab+(1/ab)≥2.且a(a-b)+[1/a(a-b)]≥2.又(2c-a)²≥0.三个式子中的等号仅当ab=1,a(a-b)=1.2c-a=0时取得,即当a=√2,b=c=√2/2时取得。∴三式相加就得(2c-a)²+{ab+[1/ab]}+{a(a-b)+[1/a(a-b)]}≥4.∴原式min=4.
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