作业帮已知X的平方减X加1等于0,求X的2001次方的值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 17:42:54
已知X的平方减X加1等于0,求X的2001次方的值?
已知X的平方减X加1等于0,求X的2001次方的值?
已知X的平方减X加1等于0,求X的2001次方的值?
法一：（繁）x^2-x+1=0,x^2-x=-1,x^2=x-1,
x^4=(x-1)^2=x^2-2x+1=-x,x^8=x^2,x^16=x^4,x^32=x^2……
于是有x^2=x^8=x^32=x^128=x^512,x^4=x^16=x^64=x^256=x^1024=-x
x^2001=x^1024*x^512*x^256*x^128*x^64*x^16*x
=(-x)*x^2*(-x)*x^2*(-x)*(-x)*x
=x^9=x^8*x=x^3=x^2*x=(x-1)x=-1
法二：（简）（必知立方差公式）
x^2-x+1=0,（x+1)(x^2-x+1)=0,x^3+1=0,x^3=-1
x^2001=(x^3)^667=(-1)^667=-1
已知X^2-X+1=0，求X^2001次方的值？
设x=r(cosθ+isinθ)代入方程得
r^2(cosθ+isinθ)^2-r(cosθ+sinθ)+1=0
整理得:(r^2cosθ^2-r^2sinθ^2-rcosθ+1)+(2r^2sinθcosθ-rsinθ)i=0
虚部=0:2r^2sinθcosθ-rsinθ=0 -->cosθ=1/(2r)......
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已知X^2-X+1=0，求X^2001次方的值？
设x=r(cosθ+isinθ)代入方程得
r^2(cosθ+isinθ)^2-r(cosθ+sinθ)+1=0
整理得:(r^2cosθ^2-r^2sinθ^2-rcosθ+1)+(2r^2sinθcosθ-rsinθ)i=0
虚部=0:2r^2sinθcosθ-rsinθ=0 -->cosθ=1/(2r).........(*)
实部=0:r^2cosθ^2-r^2sinθ^2-rcosθ+1=2r^2cosθ^2-rcosθ+1-r^2=0
(*)式代入得:r^2=1-->r=1 -->cosθ=1/2 -->θ=(1/2±1/3)π
x=r(cosθ+isinθ)=re^(iθ)
x^2001=r^2001e^(2001iθ)
=e^(2001(1/2±1/3)πi)
=e^((2001/2±667)πi)
=e^(-1/2πi)
=-i
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