作业帮如何推导出弹性势能的表达式求弹性势能的表达式的较详细的推导过程需要适合中学生理解的推导过程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 23:11:07
如何推导出弹性势能的表达式求弹性势能的表达式的较详细的推导过程需要适合中学生理解的推导过程
如何推导出弹性势能的表达式
求弹性势能的表达式的较详细的推导过程
需要适合中学生理解的推导过程
如何推导出弹性势能的表达式求弹性势能的表达式的较详细的推导过程需要适合中学生理解的推导过程
设想在重力作用下,一个物体缓慢从地面升至高度h处.
在有限高度内,重力可视为恒量mg.不随高度的变化而变化.
因此 重力对物体所做的功为 -mgh.（重力与位移方向相反,所以功为负）
重力属于保守力,保守力所做的功 + 保守力势能 = 常量.
因此,重力势能的表达式为 mgh.（以地面为势能零点）
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而对一个弹性系统,弹性恢复力 F = - kx.
（k为弹性恢复系数,x表示离开平衡位置的距离）.
与重力不同,弹性恢复力不是常量,随着位移x的变化而变化.
因此 这个题目需要微积分知识的基础.
距离平衡位置为x时,恢复力为 F = -kx,负号表示恢复力的方向是指向平衡位置.其中k为弹性恢复系数.
从平衡位置 到达x位置,恢复力所做的功为 恢复力与位移乘积 从0到x 的定积分.即
W = ∫F*dx = ∫-kx * dx = -kx^2/2 （从0到x）= - kx^2/2 - 0 = - kx^/2
恢复力属于弹性系统的内力,和重力一样,也属于保守力.
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
以平衡位置为势能零参考点.因此
弹性势能 E = -W = kx^2/2
做 F---x 关系曲线.从这条直线的 起点和终点 分别向x轴做垂线.
那么由 这两条垂线、x轴、F--x曲线 围成了一个闭合图形.
这个图形的面积 就是 力F所做的功 W.
上面讲的这段 在中学 接触过没?如果没有的话,那就直接承认.对于知识储备不足而尚不能证明的理论,先暂且直接承认,这也是常用的学习方法.
对于本题目,
以 弹性力 F = -kx 作为y轴,
以 伸缩量 x 作为 x轴
F--x“曲线”是通过坐标原点的一条直线.
经从该直线的起点和终点向x轴做投影后,得到第四象限的一个三角形.
三角形的面积为
S = 底*高/2 = (x-0)*kx/2 = kx^2/2
由于力的方向与位移方向相反（同时也因为是在x轴下方）,所以 F所做的功是面积的负值,即
W = -S = -kx^2/2
而弹性势能为
E = -W = kx^2/2
牛2律+机械能守恒
二分之一的K乘以X的平方
势能U做泰勒展开,略去2次方以上项，1次项是0，势能0点可以随便取，让0次项为0，就剩下U＝kx＾2／2
W=F*X
F=-kX
F是随X线性变化的.
所以:W=函数F=-kX与坐标轴围成的面积.
而:这个面积是直角三角形.
所以,很显然,W=S=1/2X(-kX)
F是保守力
保守力所做的功 = 保守势能变化的负值
E＝1/2kX＾2