已知双曲线C与双曲线y²/2-x²=1有相同的渐近线,且C的一个顶点为(1,0),C的焦点为F1,F2,在曲线C上有一点M满足MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 01:48:58
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已知双曲线C与双曲线y²/2-x²=1有相同的渐近线,且C的一个顶点为(1,0),C的焦点为F1,F2,在曲线C上有一点M满足MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离,
已知双曲线C与双曲线y²/2-x²=1有相同的渐近线,且C的一个顶点为(1,0),C的焦点为F1,F2,在曲线C上有一点M满足MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离,
已知双曲线C与双曲线y²/2-x²=1有相同的渐近线,且C的一个顶点为(1,0),C的焦点为F1,F2,在曲线C上有一点M满足MF1·MF2=0,求点M到x轴的距离,
首先,可以求出双曲线的渐近线为y=±√2
对于双曲线C:由它的一个顶点为(1,0)可得,a=1
又b/a= √2,所以,b= √2
双曲线C可以写成x^2-y^2/2=1
所以,F1=(-√3,0)F2(√3,0)
设|MF1|= x,|MF2 |=x-2
因为向量MF1·向量MF2=0,所以,MF1垂直于MF2,F1F2=2√3
所以,|MF1|^2+ |MF2 |^2=F1F2^2,即x^2+(x-2)^2=(2√3)^2
解得,x1=-2(舍去),x2=4,所以x=4,
即,|MF1|= x=4,|MF2 |=x-2=2
设点M到x轴的距离为h,则有,|MF1|·|MF2 |=F1F2·h
即4*2=2√3·h,解得,h=2√3/3
即点M到x轴的距离为2√3/3