急求解. 设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0 (1)求f(x)的极值 (2)设0急求解.设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0(1)求f(x)的极值(2)设0＜a≦1,记f(x)为(0,a]上的最大值为F(a),求函数G(a)=F(a)/a的最小值(3)设函数g(x)=㏑x-2x²+4

急求解. 设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0 (1)求f(x)的极值 (2)设0急求解.设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0(1)求f(x)的极值(2)设0＜a≦1,记f(x)为(0,a]上的最大值为F(a),求函数G(a)=F(a)/a的最小值(3)设函数g(x)=㏑x-2x²+4
急求解. 设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0 (1)求f(x)的极值 (2)设0
急求解.
设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0
(1)求f(x)的极值
(2)设0＜a≦1,记f(x)为(0,a]上的最大值为F(a),求函数G(a)=F(a)/a的最小值
(3)设函数g(x)=㏑x-2x²+4x+t(t为常数),若使g(x)≦x+m≦f(x)在,x＞0上恒成立的实数m有且只有一个,求实数m和t的值

急求解. 设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0 (1)求f(x)的极值 (2)设0急求解.设函数f(x)=x(x-1)²,x＞0(1)求f(x)的极值(2)设0＜a≦1,记f(x)为(0,a]上的最大值为F(a),求函数G(a)=F(a)/a的最小值(3)设函数g(x)=㏑x-2x²+4
(1) f'(x) = (x - 1)² + x*2(x - 1) = (x - 1)(3x - 1)
f'(x) = 0,x = 1,x = 1/3
0 < x < 1/3:x - 1 < 0,3x - 1 < 0,f'(x) > 0,增函数
1/3 < x < 1:x - 1 < 0,3x - 1 > 0,f'(x) < 0,减函数
x > 1:x - 1 > 0,3x - 1 > 0,f'(x) > 0,增函数
极大值:f(1/3) = 4/27
极小值:f(1) = 0

(2)
由(1)
(i) a ≤ 1/3时,f(x)(0,a]上的最大值为f(a) = a(a - 1)²
G(a) = (a - 1)²,此为开口向上的抛物线,对称轴a = 1,最小值:G(a) = (a - 1)²

(ii) 1/3 < a ≤ 1时,f(x)(0,a]上的最大值为f(1/3)= 4/27
G(a) = F(a)/a = 4/(27a),最小值:G(a) = 4/(27a)

(3)
h(x) = g(x) - (x + m) = lnx - 2x² + 4x + t - x - m = lnx - 2x² + 3x - m
h'(x) = 1/x - 4x + 3 = (-4x² + 3x + 1)/x
定义域 x > 0,现在只需考虑分子的符号.
-4x² + 3x + 1 = (4x + 1)(1 - x) = 0,x = 1
0 < x < 1:h'(x) > 0
x > 1:h'(x) < 0
最大值h(1) = 1 + t - m
若使g(x)≤x+m恒成立,即h(x) ≤ 0恒成立,1 + t - m≤ 0,m ≥ t + 1 (i)
H(x) = f(x) - (x + m) = x(x-1)² - (x + m)
H'(x) = x(3x - 4) = 0
x = 4/3
0 < x < 4/3:H'(x) < 0
x > 4/3:H'(x) > 0
最小值:H(4/3) = -32/27 - m
若使x + m ≤ f(x)恒成立,即H(x) ≥ 0恒成立,H(4/3) = -32/27 - m ≥ 0,m ≤ -32/27  (ii)
实数m只有一个值,比较(i)(ii),则 m = -32/27
t ≤ m - 1 = -59/27