线性代数矩阵的可逆证明题求助1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)2:设A^k = 0(k为正整数),证明:(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/13 12:07:34
![线性代数矩阵的可逆证明题求助1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)2:设A^k = 0(k为正整数),证明:(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)](/uploads/image/z/355993-25-3.jpg?t=%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E5%8F%AF%E9%80%86%E8%AF%81%E6%98%8E%E9%A2%98%E6%B1%82%E5%8A%A91%3A%E8%AE%BE%E6%96%B9%E9%98%B5A%E6%BB%A1%E8%B6%B3A%5E2+-+A+-+2E+%3D+0+%2C+%E8%AF%81%E6%98%8EA%E5%8F%8AA%2B2E%E9%83%BD%E5%8F%AF%E9%80%86%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BAA%28-1%29%E5%8F%8A%28A%2B2E%29%28-1%292%EF%BC%9A%E8%AE%BEA%5Ek+%3D+0%28k%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%29%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9A%28E-A%29%28-1%29+%3D+E+%2B+A+%2B+A%5E2+%2B+%E2%80%A6%E2%80%A6+%2B+A%5E%28k-1%29)
线性代数矩阵的可逆证明题求助1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)2:设A^k = 0(k为正整数),证明:(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
线性代数矩阵的可逆证明题求助
1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)
2:设A^k = 0(k为正整数),证明:(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
线性代数矩阵的可逆证明题求助1:设方阵A满足A^2 - A - 2E = 0 , 证明A及A+2E都可逆,并求出A(-1)及(A+2E)(-1)2:设A^k = 0(k为正整数),证明:(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
1.证明:因为 A^2 - A - 2E = 0
所以 A(A-E)/2 = E
所以 A可逆,且 A^-1 = (1/2)(A-E).
又由 A^2 - A - 2E = 0
得 A(A+2E) -3A-2E = 0
A(A+2E) -3(A+2E) +4E = 0
所以 (A-3E)(A+2E) = -4E.
所以A+2E可逆,且 (A+2E)^-1 = (-1/4)(A-3E).
2.证明:因为A^k = 0,所以
(E-A)(E + A + A^2 + …… + A^(k-1))
= E + A + A^2 + …… + A^(k-1) - A - A^2 - …… - A^(k-1) - A^k
= E - A^k
= E.
所以 E-A 可逆,且 (E-A)^-1 = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
1.A(A-E)=2E所以A^(-1) = (A-E)/2
(A+2E)(A-3E) = -4E所以(A+2E)^(-1) = (A-3E)/-4
2. E - A^k = E所以
(E-A)(E + A + A^2 + ... + A^(k-1)) = E
1..A*(A-E)=A^2-A=2E
所以A*(A-E)/2=E 即 A是可逆的,且A(-1)=(A-E)/2
(A+2E)*(A-3E)=A^2+2A-3A-6E=A^2-A-6E=-4E
所以(A+2E)*(A-3E)/(-4)=E
即A+2E可逆,且(A+2E)(-1)=(A-3E)/(-4)=(3E-A)/4
2. (E + A + A^2...
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1..A*(A-E)=A^2-A=2E
所以A*(A-E)/2=E 即 A是可逆的,且A(-1)=(A-E)/2
(A+2E)*(A-3E)=A^2+2A-3A-6E=A^2-A-6E=-4E
所以(A+2E)*(A-3E)/(-4)=E
即A+2E可逆,且(A+2E)(-1)=(A-3E)/(-4)=(3E-A)/4
2. (E + A + A^2 + …… + A^(k-1))*(E-A)
=E + A + A^2 + …… + A^(k-1)- [E + A + A^2 + …… + A^(k-1)]*A
=E + A + A^2 + …… + A^(k-1)-(A+A^2+......A^(k-1)+A^k)
=E-A^k=E (题目的条件有A^k=0)
由此就推出了(E + A + A^2 + …… + A^(k-1))*(E-A)=E
(E-A)(-1) = E + A + A^2 + …… + A^(k-1)
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