作业帮小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子,从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚,即留下奇数号棋子取走偶数号棋子,若黑子初始位置是第2011号,则最后剩下的棋子最初是第多少号?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/20 15:31:55
小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子,从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚,即留下奇数号棋子取走偶数号棋子,若黑子初始位置是第2011号,则最后剩下的棋子最初是第多少号?
小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子,从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚,即留下奇数号棋子
取走偶数号棋子,若黑子初始位置是第2011号,则最后剩下的棋子最初是第多少号?
小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子,从黑子开始,按顺时针方向,每隔一枚,取走一枚,即留下奇数号棋子取走偶数号棋子,若黑子初始位置是第2011号,则最后剩下的棋子最初是第多少号?
从简单的问题开始,通过实验寻找规律.
如果圆圈上只有1、2号两枚棋子,最后剩下的是1号；
如果圆圈上只有1~4号这4枚棋子,通过实验发现：最后剩下的也是1号；
如果圆圈上只有1~8号这8枚棋子,通过实验了现：最n后剩下的也是1号；
而2=2的1次方,4=2的2次方,8=2的3次方,……,由此可以得出一个规律：
当圆圈上有1~2的n次方这2的n次方个号码时,按题目中的取法最后剩下的一定是1号.
但2011枚不是2的几次方,须设法使圆圈上的数是2的若干次方.因为1024是2的10次方,而2048是2的11次方,2011-1024=987.
所以从2011枚棋子中去掉987枚棋子后就只剩下1024枚棋子.
又因为987乘2等于1974,即从1开始,取走2,4,6,8,……,1974这987枚棋子后,从1974开始数：1975,1976,1977,……,2011,1,3,5,……,1971,1973,共有1024枚棋子,1024等于2的10次方.这一来,问题就变成：将这剩下的1024枚棋子按顺时针方向,依次排成一个圆圈,从1975开始,留下1975,取走1976,……,正好符合上面规律的要求.所以最后剩下的一枚棋子为开始的那枚棋子,即最初的1975号棋子.